El límite de una función constante es esa constante.
Suponga que [math] f [/ math] es una función constante, digamos que [math] f (x) [/ math] siempre tiene el valor [math] c [/ math]. Entonces cualquier límite de [math] f (x) [/ math] también tiene el valor [math] c [/ math]:
[matemáticas] \ lim_ {x \ a a} f (x) = c [/ matemáticas]
Prueba : para mostrar [math] \ forall \ epsilon> 0, \ exist \ delta> 0, \ forall x \ neq a [/ math]
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[matemáticas] | xa | <\ delta \ mbox {implica} | f (x) -c | <\ epsilon [/ matemáticas]
Deje [math] \ epsilon> 0 [/ math]. Elija cualquier [matemática] \ delta [/ matemática] positiva que desee. Entonces [math] | f (x) -c | [/ math] es 0 ya que [math] f (x) = c [/ math] y [math] 0 <\ epsilon [/ math].
QED
Notas [math] \ forall [/ math] es una abreviatura de “para todos”. [matemática] \ existe [/ matemática] es una abreviatura de “existe”.
La prueba para funciones constantes difiere de las pruebas para cualquier otra función ya que el valor si [math] \ delta [/ math] es irrelevante. Para cualquier otra función, debe determinar qué valor de [math] \ delta [/ math] funciona para la [math] \ epsilon [/ math] particular, pero para una función constante, cada valor positivo de [math] \ delta [/ math] funcionará.