¿De cuántas maneras puedes “probar” 1 = 2?

Answer 1

Por supuesto, [matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas] nunca puede ser matemáticamente correcto. Pero existen estas pequeñas cosas, llamadas falacias matemáticas , que conducen a resultados absurdos (e incorrectos); a través de alguna sutileza, no aparente a primera vista, complejidad en la prueba. Por ejemplo, división por cero, lo que quedó demostrado por la respuesta de Mayank Gulati. Lo más cercano que puede llegar a [matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas] es a través de estas falacias.

Aquí hay una interesante que me encontré hace 2 años:

El cuadrado de un número dado, en general, se puede escribir como
[matemáticas] x ^ 2 = x + x + x + x +… [/ matemáticas] (x veces)
[matemáticas] [1 ^ 2 = 1; 2 ^ 2 = 2 + 2; 3 ^ 2 = 3 + 3 + 3 [/ matemáticas] y así sucesivamente [matemáticas]] [/ matemáticas]

Al diferenciar esta ecuación wrt x, obtenemos
[matemáticas] 2x = 1 + 1 + 1 + 1 +… [/ matemáticas] (x veces)
[matemáticas] 2x = x [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 = 1 [/ matemáticas]

(Esto es obviamente falaz. Lo dejo como un ejercicio mental para que el espectador descubra por qué).

EDITAR:
En aras de la exhaustividad, estoy agregando por qué la falacia dada anteriormente produce un resultado incorrecto.

Esta imagen lo explica muy bien:

Answer 2

Supongamos que hay [matemáticas] n [/ matemáticas] pruebas de que [matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas]. De esto derivamos que hay [matemáticas] n + 1 – 1 = n + 2 – 1 = n + 1 [/ matemáticas] pruebas de que [matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, por inducción, hay infinitas pruebas de que [matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas].

Answer 3

La mayoría de las pruebas falaces comunes ya se han dado. Me gustaría presentar uno que es un poco menos común.

La prueba falsaz :

Comenzamos con la serie Taylor del logaritmo natural :

[matemáticas] ln (1 + x) \; = \; \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ displaystyle \ frac {(- 1) ^ {n-1}} {n} x ^ n \; = \; x – \ displaystyle \ frac {x ^ 2} {2} + \ displaystyle \ frac {x ^ 3} {3} – \ displaystyle \ frac {x ^ 4} {4} + \ displaystyle \ frac {x ^ 5} {5} -…. [/ Matemáticas]

donde [matemáticas] -1

Poniendo [matemáticas] x \; = \; 1 [/ math] conducirá al siguiente resultado:

[matemáticas] ln (2) \; = \; 1 – \ displaystyle \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ frac {1} {3} – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ displaystyle \ frac {1} {5} -…. [/ matemáticas]

Ahora reorganice los términos individuales de la serie Taylor , de modo que tengamos la serie de la forma:

[matemáticas] ln (2) \; = \; \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} \ Bigg [\ Bigg (\ displaystyle \ frac {1} {2n-1} – \ displaystyle \ frac {1} {2 (2n-1)} \ Bigg ) – \ displaystyle \ frac {1} {4n} \ Bigg] [/ math]

[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ Bigg (1 – \ displaystyle \ frac {1} {2} \ Bigg) – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ Bigg (\ displaystyle \ frac {1} {3} – \ displaystyle \ frac {1 } {6} \ Bigg) – \ displaystyle \ frac {1} {8} + \ Bigg (\ displaystyle \ frac {1} {5} – \ displaystyle \ frac {1} {10} \ Bigg) – \ displaystyle \ frac {1} {12} + … [/ math]

[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ displaystyle \ frac {1} {6} – \ displaystyle \ frac {1} {8} + \ displaystyle \ frac {1 } {10} – \ displaystyle \ frac {1} {12} +…. [/ Math]

[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} \ Bigg (1 – \ displaystyle \ frac {1} {2} + \ displaystyle \ frac {1} {3} – \ displaystyle \ frac {1} {4} + \ displaystyle \ frac {1} {5} -…. \ Bigg) [/ math]

[matemáticas] \ implica \; En (2) \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} \ ln (2) [/ math]

[matemáticas] \ implica \; 1 \; = \; \ displaystyle \ frac {1} {2} [/ math]

[matemáticas] \ implica \; 1 \; = \; 2 \ qquad \ qquad QED [/ matemáticas]

La falacia :

La falacia radica en el manejo de la serie infinita, específicamente el paso en el que hemos reorganizado los términos de la serie . La expansión en serie de [math] ln (2) [/ math] es un ejemplo clásico de serie condicionalmente convergente, es decir, “ la serie de sus términos positivos diverge a [math] + \ infty [/ math] y la serie de sus términos negativos diverge a [matemáticas] – \ infty [/ matemáticas] “. [1] Ahora, el teorema de la serie Riemann, también conocido como el teorema de reordenamiento de Riemann, establece que ” mediante un reordenamiento adecuado de los términos, se puede hacer una serie condicionalmente convergente para converger a cualquier valor deseado, o para divergir “. [2] presentada una prueba falaz popular, los reordenamientos se realizaron para lograr que la serie convergiera en el valor deseado de [math] \ displaystyle \ frac {1} {2} \ ln (2) [/ math].

[1] Wolfram Mathworld – Convergencia Condicional

[2] Wolfram Mathworld – Teorema de la serie Riemann

Answer 4

Una prueba geométrica.

Por lo tanto, 13 por 10 es igual a 8 por 8 más 8 por 8, es decir, 130 = 64 + 64, entonces 130 = 128. Divide entre 2 para concluir 65 = 64. Resta 63. Luego 2 = 1. Y como 2 = 1, por lo tanto 1 = 2.

Answer 5

Supongo que comenzaré con el más obvio.

Suponga que a = b

multiplicando ambos lados por ‘a’
=> a * a = a * b

restando ‘b * b’ de ambos lados
=> a * a – b * b = a * b – b * b
=> (a + b) * (ab) = b * (ab)

dividiendo ambos lados por ‘(ab)’, obtenemos

a + b = b

Pero como a = b , reemplazando ‘a’ con ‘b’

2b = b
=> 2 = 1
Por lo tanto demostrado

Answer 6

Las siguientes preguntas son similares a esta:
Falacias Matemáticas: ¿Cómo puedes hacer 1 = 2?
Falacias matemáticas: ¿podemos demostrar que 1 = 2 o 2 = 3 o 3 = 4 y así sucesivamente?
¿Qué tiene de malo esta prueba de que 1 = 2? 1. A = B, 2. [matemáticas] AB = B2,3.A2 − B2 = A2 − AB, 4. (A + B) (A − B) = A (A − B), 5. (A + B) = A, 6.A + A = A, 7.2A = A, 8.2 = 1 [/ matemáticas]
¿Es posible demostrar matemáticamente que 1 = 2?
Véalos para más información.

Answer 7

Bueno, según recuerdo, hay una prueba geométrica de que una esfera sólida puede cortarse y traducirse un número finito de veces para formar dos esferas sólidas del mismo tamaño que el original (sin falacias matemáticas, si recuerdo correctamente … esto ilustra que no todos los modelos geométricos se traducen perfectamente en nuestro universo).

Me encantaría que alguien pueda recordar de quién es el trabajo que es o podría reproducirlo aquí.

No es estrictamente equivalente a ‘1 = 2’, más como ‘(partición finita de 1) = (partición finita de 2)’ … Si acepta dicha prueba como una forma de probar 1 = 2, entonces hay infinitas, porque podría particionar de infinitas maneras factibles o agregar infinitas líneas de pruebas redundantes.

Answer 8

Se ha dicho que si asumes una falsedad, puedes probar cualquier cosa.
¡Pero no puedo probar eso!
Pero la mayoría, si no todas las falacias matemáticas, pueden convertirse en ‘probar 1 = 2

Puedo ver dos clases de falacias aquí

Uno es
Si F (x) = F (y) entonces x = y

Esto es cierto solo si el mapeo es uno a uno, si no lo es, entonces el mapeo inverso implícito F-1 (F (y)) no es único, pero la no unicidad puede estar oculta por convención,
Por ejemplo, F: cuadrado F-1: sqrt, convención: sqrt (4) significa sqrt positivo
Aplicación: x ^ 2 = (-x) ^ 2, x = -x sumar 3x 4x = 2x dividir por 2x, 2 = 1
Otros ejemplos
sin, diferenciar, x ^ 0, x * 0, 1 ^ x, x + infinito, x * infinito

Vinculado a lo anterior está la suposición falsa de que
F (G (x)) = G (F (x))
Los ejemplos que he visto incluyen
Para F, G (cuando es falso)
Multiplicar, raíz cuadrada (números negativos)
Dividir, raíz cuadrada (ídem)
Suma, integrar (sobre la misma variable)

La razón por la cual las falacias son creíbles es que estamos persuadidos de que lo que encontramos que es comúnmente cierto es universalmente cierto, y que la trampa está oculta entre cosas complicadas pero correctas.

Otras falacias a continuación se basan en ilusión óptica, ambigüedad lingüística, fallas lógicas, etc.

Answer 9

Deje a = b .
Entonces
y cancelando el
de ambos lados nos da:
1 = 2.

Sin embargo, la división solo tiene sentido cuando el número por el que está dividiendo no es cero. En esta prueba,
porque asumimos en el paso 1 que a = b !
Por lo tanto, no es legítimo dividir ambos lados de la ecuación por
porque eso sería división por cero, lo que no tiene ningún sentido.

Answer 10

Usa la paradoja de Banach-Tarski. Muestra cómo puede dividir una esfera en partes y volver a montar las partes en dos esferas, cada una idéntica a la primera, utilizando solo traslaciones y rotaciones.

Answer 11

No es ningún misterio que:
[matemáticas] \ frac {1} {x} = 2 \ frac {1} {2x} [/ matemáticas]. para todo x diferente de 0.

Puedes tomar la integral de ambas partes de la ecuación:
[matemáticas] \ int \ frac {1} {x} \, dx = \ int2 \ frac {1} {2x} \, dx [/ matemáticas]

Ahora podemos realizar la integración; entonces tenemos:
[matemáticas] \ ln (x) = \ ln (2x) [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que hemos utilizado la regla de la cadena de diferenciación para encontrar un anti-derivado adecuado:
[matemáticas] (\ ln (2x)) ‘= 2 \ frac {1} {2x} [/ matemáticas]

Como esto es cierto para todas las x menos cero, podemos establecer [matemáticas] x = 1 [/ matemáticas]
Terminamos con:
[matemáticas] \ ln (1) = \ ln (2) [/ matemáticas]
o equivalente :
[matemáticas] 1 = 2 [/ matemáticas]
lo que estábamos tratando de probar

Dónde está el problema ?
No dividimos por cero ni realizamos una suma infinita.
Lo que ocurre aquí es que, al realizar la integración, nos hemos olvidado de la constante de integración:
[matemáticas] \ ln (2x) = \ ln (x) + \ ln (2) = \ ln (x) + cst [/ matemáticas]
Esto parece inocuo, pero como físico, a veces tengo que integrar numéricamente datos (digamos que convertir la salida de un acelerómetro en un desplazamiento), y la constante de integración lo hace … muy difícil, ya que de alguna manera es arbitrario cuando no tienes conocimiento extra

Answer 12

Bueno, por supuesto, podrías engañar a un argumento matemático para que pruebe algo así como 1 = 2. Pero para hacer eso tienes que manipular la ecuación de una manera que no está permitida; es decir, dividir entre cero o infinito, lo que no tiene sentido. En otras palabras, no, no puedes con una prueba matemática sólida. Esto me recuerda a …… 9999999999999999999 = -1 falacia matemática; ver este blog para más: cosas interesantes

Answer 13

Matemáticamente, esto nunca se puede hacer. Y tampoco debe probarse porque hace que las matemáticas parezcan un truco barato (con el debido respeto a las pruebas matemáticas ‘elegantes’ que prueban 1 = 2, 1 = 0 y muchas otras).

Puedes hacer “matemáticas” elegantes como Mayank Gulati ha hecho aquí y “probar” que 1 = 2. Pero si observa la parte donde divide por (ab) en ambos lados, en realidad está realizando una división por 0, que es matemáticamente inválido.

Puedes probar 1 = 2 usando oraciones cuidadosamente redactadas y trucos ingeniosos, pero nunca serán matemáticamente. Por ejemplo, puedo decir que 2 mitades forman un todo . Entonces, si miras esto y piensas filosóficamente, 2 = 1 aquí.

Answer 14

Por la paradoja de Banach – Tarski. Dada una [[pelota (matemáticas) | pelota]] sólida en un espacio tridimensional, [[teorema de existencia | existe]] una descomposición de la pelota en un número finito de [[Conjuntos disjuntos | disjuntos ]] [[s, que luego se puede volver a armar de una manera diferente para obtener dos copias idénticas de la bola original.

Answer 15

Cero es la respuesta a la pregunta que hizo. Porque, a menos que cambie los axiomas habituales de la aritmética, [math] (1 = 2) [/ math] no es demostrable . Podría ser cierto, por ejemplo, si la función sucesora fuera idempotente, es decir, [math] \ forall n \ in \ mathbb {N} (n ” = n ‘) [/ math].

Infinitamente es la respuesta a la pregunta que pretendía hacer. (Pero la mayoría de ellos serán muy poco interesantes, por lo que probablemente desee ver algunos casos interesantes e ingeniosamente disfrazados).

Answer 16

La falacia geométrica solicitada anteriormente podría ser la siguiente:

Dibuja un triángulo equilátero. Suponga que cada lado tiene una longitud de 1. La relación de la longitud de los dos lados a la base es 2: 1.

Lleva el vértice superior del triángulo hacia abajo para encontrar su base y crear dos triángulos equiláteros uno al lado del otro.

La relación de longitud de la suma de los dos lados a la base siempre será 2: 1. Puede continuar doblando las aletas de cada triángulo para producir una generación doble de triángulos cada vez más cortos y ópticamente llegaría a un punto donde los picos de los triángulos colapsan visualmente en la base del triángulo con el que comenzó, dando la apariencia de 2 = 1. Es un juego mental divertido.

Answer 17

Probaré por inducción una declaración más general:
para cualquier n; c_1 = c_2 = c_3 =…. c_n donde c_i es cualquier número real
En otras palabras, cualquier n número es igual

Prueba por inducción:
Caso base para n = 1:
Esto trivialmente se mantiene como c_1 = c_1 para cualquier c_1

Paso de inducción: suponga que la declaración se cumple para n, demuestre que también se cumple para n + 1
Entonces, la suposición es que para cualquier n números tenemos
c_1 = c_2 = c_3 =…. c_n
pero esto también vale:
c_2 = c_3 =…. c_ (n + 1)

Por lo tanto, concluimos que
c_1 = c_2 = c_3 =…. c_n = c_ (n + 1)

y he terminado QED

Obviamente, como lo probé para cualquier n, puedo elegir n = 2, c_1 = 1, c_2 = 2; y así 1 = 2

Muy bien, ¿eh?

Answer 18

Si puede probar 1 = 2, es trivial demostrar que todos los enteros son iguales (a partir de los cuales puede probar que todos los racionales son iguales, y así sucesivamente). Entonces, para responder “de cuántas maneras”, simplemente elija el número que desee y se garantiza que será igual a la respuesta correcta.

Answer 19

En un documental reciente sobre creacionismo, un creacionista destacado dijo que si la Biblia declara que 2 + 2 = 5, lo creería. Entonces, si aceptamos esto como la potencial palabra de Dios, entonces obtenemos 4 = 5 como un artículo de fe. Resta 3 de ambos lados y listo – 1 = 2. Entonces, la conclusión a la que llegamos es que para las mentes cerradas, la ecuación 1 = 2 no solo puede ser verdadera, sino que está más allá de cualquier reproche

Answer 20

Hace años, en el programa “Brains Trust” de la BBC, el profesor Jove dijo: Si afirmas que 1 = 2 puedes probar cualquier cosa. Otro miembro replicó: “Suponga 1 = 2 y demuestre que usted es el Papa. Jove respondió: Eso es fácil. El Papa y yo somos 2. Por lo tanto, el Papa y yo somos 1. Por lo tanto, soy el Papa.