¿Cuál es la intuición detrás de la ecuación [matemáticas] \ cos ^ 2 x + \ sin ^ 2 x = 1 [/ matemáticas]?

Answer 1

No es intuición, sino una simple prueba matemática.

Considera un triángulo rectángulo .
Los tres lados son:

1. Hipotenusa (la más larga)
2. Perpendicular (el vertical)
3. Base (la horizontal)

El ángulo recto es el ángulo entre la base y la perpendicular.

Ahora, por definición,
[matemáticas] \ sin {\ theta} = \ frac {P} {H} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ cos {\ theta} = \ frac {B} {H} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemáticas] \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta} = (\ frac {P} {H}) ^ 2 + (\ frac {B} {H}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {P ^ 2 + B ^ 2} {H ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora, sabemos que, en un triángulo rectángulo,

El teorema de Pitágoras establece que,

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (es decir, la base y la perpendicular)

es decir, [matemáticas] H ^ 2 = P ^ 2 + B ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto,

[matemáticas] \ sin ^ 2 {\ theta} + \ cos ^ 2 {\ theta} = \ frac {P ^ 2 + B ^ 2} {H ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {H ^ 2} {H ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = 1 [/ matemáticas]

Answer 2

Realmente no sé cómo se puede hacer esto más intuitivo, es solo una consecuencia de las definiciones básicas de trigonometría y el teorema de Pitágoras, como lo señaló Deepak Mehta. En el centro de cualquier intento de demostrar esta identidad, debe haber una prueba del teorema de Pitágoras. Tal vez si uno quiere ver las cosas de una manera más simple usando otras ramas de las matemáticas que a su vez podrían necesitar probar algunas cosas, aquí hay dos intentos.

Considere un círculo en el plano xy, su ecuación se puede representar como [matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 [/ matemáticas]. Cualquier punto en el círculo se puede representar como [matemáticas] (r cos \ theta, r sin \ theta) [/ matemáticas] donde [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] es el ángulo formado por el punto con el positivo x- eje. Sustituyendo esto en la ecuación anterior se obtiene la identidad deseada. Tenga en cuenta que aquí usamos la distancia euclidiana en la ecuación del círculo y es una consecuencia del teorema de Pitágoras de alguna manera.

Descubra [math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) [/ math] encontrará que es cero. Por lo tanto, [matemática] sen ^ 2 x + cos ^ 2 x [/ matemática] ha sido constante, averigüe su valor en [matemática] x = 0 [/ matemática] obtendrá el valor [matemática] 1 [/ matemática]

Answer 3

En el círculo unitario, si elige un punto en el círculo, dibuje una línea hacia el centro que forme un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] con el eje x positivo en sentido antihorario, entonces las coordenadas de ese punto son [matemático ] (\ cos \ theta, \ sin \ theta) [/ math]. Si dibuja un triángulo rectángulo con el centro, el punto que eligió y ese punto proyectado verticalmente en el eje x, entonces las dos patas también son [matemáticas] \ cos \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen \ theta [/ math], y la hipotenusa es el radio, [math] 1 [/ math]. Así, según el teorema de Pitágoras, [matemática] \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1 [/ matemática].

Answer 4

La ecuación es una identificación básica de Pitágoras, donde la coordenada x es coseno, la coordenada y es seno y la hipotenusa es 1 dentro del círculo unitario.

Answer 5

Si el Teorema de Pitágoras es comprensible para usted intuitivamente, y si está de acuerdo con la forma en que se definen el coseno y el seno, entonces esta identidad también es, con suerte, intuitivamente comprensible.

Answer 6

Como han señalado otros usuarios, es principalmente una consecuencia de cómo se definen [math] \ cos x [/ math] y [math] \ sin x [/ math]. Mostraré lo que quiero decir con esto usando el círculo unitario.

Recordemos la definición de las funciones trigonométricas: si tomamos el punto [matemática] P [/ matemática] en el círculo unitario como el eje [matemática] x [/ matemática] y el rayo desde el origen [matemática] O [/ matemática ] a [matemática] P [/ matemática] forma un ángulo de [matemática] x [/ matemática], luego [matemática] \ cos x [/ matemática] es la [matemática] y [/ matemática] -coordinada de [matemática] P [/ math] y [math] \ sen x [/ math] es la [math] x [/ math] -coordinate de [math] P [/ math]. Como [math] P [/ math] se encuentra en el círculo unitario, la suma de los cuadrados de las coordenadas de [math] P [/ math] es 1; es decir, [matemática] \ cos ^ 2 x + \ sin ^ 2 x = 1 [/ matemática], según se desee.

Answer 7

sin intuición

solo medidas físicas (cm) verificadas cada vez

induciendo eso

AC (sq) + BC (sq) = AB (sq)

y corrolarios

Answer 8

Representación trigonométrica del teorema de Pitágoras.

Answer 9

La mayoría de las pruebas (incluida la mía a continuación) se basa en el teorema de Pitágoras. Aquí están mis dos pruebas de que [math] \ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = 1 [/ math].
Supongamos que tenemos un triángulo de patas derechas, donde [matemática] a [/ matemática] es adyacente, [matemática] b [/ matemática] lo opuesto y [matemática] c [/ matemática] la hipotenusa. Entonces,
[matemáticas] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] (\ cos \ alpha \ cdot c) ^ 2 + (\ sin \ alpha \ cdot c) ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos ^ 2 \ alpha \ cdot c ^ 2 + \ sin ^ 2 \ alpha \ cdot c ^ 2 = c ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos ^ 2 \ alpha + \ frac {\ sin ^ 2 \ alpha \ cdot c ^ 2} {c ^ 2} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ cos ^ 2 \ alpha + \ sin ^ 2 \ alpha \ cdot \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = 1 [/ matemáticas]

Mi segunda prueba simplemente reescribe la expresión, para que podamos ver que siempre debe ser igual a uno.
[matemáticas] \ sin \ alpha + \ cos \ alpha = \ frac {b} {c} + \ frac {a} {c} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = (\ frac {b} {c}) ^ 2 + (\ frac {a} {c}) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 2 (\ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha) = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]
Para satisfacer la condición de que [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 [/ matemática], la expresión [matemática] \ sin ^ 2 \ alpha + \ cos ^ 2 \ alpha [/ matemática] debe ser igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas].