Aquí está la situación. Tienes dos cantidades que se acercan a un límite y una tercera cantidad entre ellas. La conclusión es que el tercero también se acerca al límite.
Esto es válido para límites de secuencias y límites de funciones. Digámoslo formalmente para límites de funciones como [math] x \ to \ infty. [/ Math] También funciona si [math] x \ to a [/ math] donde [math] a [/ math] es un número.
Dado [matemática] \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} f (x) = \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} h (x) = L [/ math] y [math] g (x) [ / math] se encuentra entre [math] f (x) [/ math] y [math] h (x) [/ math] para grandes [math] x. [/ math] Aquí hay un diagrama que muestra un ejemplo particular
La curva verde está limitada entre las curvas azul y roja. Las curvas azul y roja se agitan, pero las amplitudes de las ondas disminuyen y las curvas azul y roja se acercan a la línea y = 4, por lo que su límite es 4. La curva verde se encuentra entre ellas, por lo que el teorema de compresión dice que tiene el mismo límite 4.
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Ahora para la prueba. Sabemos que [math] \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} f (x) = L. [/ Math] Eso significa que podemos asegurarnos de que f (x) esté lo más cerca posible de L , digamos dentro de ε de L, si tomamos x suficientemente grande, digamos x> N. Tenemos una declaración similar para h . Y tenemos que mostrar una declaración similar para g.
Entonces, supongamos que queremos hacer g ( x ) dentro de ε de L. Si tomamos x lo suficientemente grande, sabemos que podemos obtener tanto f ( x) como h ( x ) para estar dentro de ε de L. (Solo asegúrese de que x sea mayor que N para f y N para h ) . g ( x ) se encuentra entre f ( x) y h ( x ), también está dentro de ε de L. (* Ver razón más abajo). Hemos mostrado lo que se requiere para mostrar, es decir, podemos asegurarnos de que f ( x) está tan cerca como nos gustaría L si consideramos que x es suficientemente grande. Por lo tanto, [math] \ lim_ \ limits {x \ to \ infty} g (x) = L. [/ Math]
* Entonces, ¿por qué si dos cosas están dentro de ε de L, entonces cualquier cosa entre esas dos cosas también está dentro de ε de L ? Bueno, las dos cosas están entre L + ε y L – ε, por lo que cualquier cosa entre ellas también lo está. Esa es una aplicación del principio general:
Si algo está entre cosas que están entre otras cosas, entonces ese algo está entre esas otras cosas también.
Como has visto, ese principio general es el quid del argumento que muestra que el teorema de Squeeze es correcto.