Ilustraré con uno de mis problemas favoritos.
Problema: hay 100 hormigas muy pequeñas en distintos lugares en un medidor de 1 dimensión. Cada uno camina hacia un extremo del palo, elegido independientemente, a 1 cm / s. Si dos hormigas chocan entre sí, ambas invierten la dirección inmediatamente y comienzan a caminar hacia el otro lado a la misma velocidad. Si una hormiga llega al final del medidor, se cae. Demuestre que todas las hormigas siempre se caerán del palo.
Ahora las soluciones. Cuando muestro este problema a otros estudiantes, casi todos ellos presentan alguna forma del primero con bastante rapidez.
Solución 1: Si la hormiga más a la izquierda está orientada hacia la izquierda, se caerá claramente del extremo izquierdo. De lo contrario, se caerá del extremo derecho o rebotará de una hormiga en el medio y luego caerá del extremo izquierdo. Así que ahora hemos demostrado que al menos una hormiga se cae. Pero por el mismo razonamiento, otra hormiga se caerá, y otra, y así sucesivamente, hasta que todas se caigan.
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Solución 2: use simetría: imagine que las hormigas se cruzan en lugar de chocarse entre sí. Si consideramos que las hormigas no se pueden distinguir, este es el mismo problema, por lo que todas ellas se salen del metro.
Entonces para responder la pregunta,
1) Una prueba elegante es inesperadamente simple.
La primera solución es bastante intuitiva. Podría formalizarse un poco, pero es esencialmente correcto. Sin embargo, es fácil estar satisfecho con esa solución, descartar el problema por ser demasiado aburrido o poco perspicaz o lo que sea, y no anticipar que haya una solución más ingeniosa.
2) Una prueba elegante impacta en el corazón de la complejidad del problema
El problema nos da una configuración muy sencilla y quiere que pasemos de eso a un montón de hormigas muertas. Claramente, esto sería muy fácil si no fuera por la oración, “Si dos hormigas chocan entre sí, ambas invierten la dirección inmediatamente y comienzan a caminar en la otra dirección a la misma velocidad”. Esta condición es la parte más difícil del problema, pero la observación clave en la segunda solución lo elimina de una sola vez.
3) Una prueba elegante revela más sobre el tema que simplemente su resultado.
La segunda solución nos permite responder muchas más preguntas sobre el contexto del problema más allá del enunciado del problema. Por ejemplo, “¿Cuál es el tiempo más largo posible hasta que todas las hormigas se caigan?” Con el razonamiento en la primera solución, esto parece bastante imposible, pero a partir de la segunda, notamos que debido a que las hormigas esencialmente caminan juntas, el tiempo más largo es solo [matemáticas] \ frac {1 m} {1 cm / s} = 100 s. [/ Matemáticas] Para divertirse, también puede hacerse preguntas como: “Suponga que el medidor está doblado en un círculo, por lo que ahora las hormigas simplemente siguen caminando en lugar de caerse. También suponga que las hormigas son distinguibles. ¿el mayor tiempo posible hasta la primera instancia en que cada hormiga ha vuelto a su posición original? La belleza de las matemáticas radica en las conexiones que puede establecer entre conceptos e ideas aparentemente separados, y una prueba elegante resalta esta belleza y demuestra el resultado.
