¿Cuáles son todos los enfoques que se han probado para probar o refutar la conjetura de Collatz?

Answer 1

Un enfoque interesante ha generalizado la iteración de collatz a no enteros, de hecho a todo el plano complejo. Si miras la ecuación

[matemáticas] f (z) = \ frac {1} {2} \ left [z \ cos ^ 2 (\ frac {\ pi} {2} z) + (3z + 1) \ sin ^ 2 (\ frac { \ pi} {2} z) \ right] [/ math]

los números pares [matemática] n [/ matemática] se asignan a [matemática] n / 2 [/ matemática] y los números impares se asignan a [matemática] (3n + 1) / 2 [/ matemática]. A veces, ayuda incrustar un problema en una versión generalizada. Los objetos discretos a menudo son difíciles de manejar, mientras que sus contrapartes continuas se comportan bien. Puede iterar el mapa anterior para ver qué valores convergen y cuáles divergen para obtener un subconjunto del plano complejo. El resultado se denomina fractal de Collatz, análogo al conocido conjunto de Mandelbrot (que se obtiene mediante el criterio de convergencia para la iteración [matemática] z \ a z ^ 2 + c [/ matemática]).
Puedes ver patrones muy interesantes aquí. Estudiarlos puede dar una idea del comportamiento específico en los puntos enteros.

http://projecteuclid.org/DPubS?s…

Escuché esto en una conferencia de invitados en IMO09, por Dierk Schleicher, uno de los autores de este artículo.

Answer 2

Escribir un programa de computadora para una búsqueda exhaustiva es una estrategia ingenua que no ha funcionado hasta ahora.

Yo mismo he escrito programas para probarlo en los primeros millones de números naturales. También he escrito un programa para probarlo en busca de números aleatorios muy grandes (alrededor de 2000 dígitos) pero, ¡vaya, siempre vuelve a 1!

Answer 3

El problema 3x + 1: una bibliografía anotada (1963–1999) destaca las ideas discutidas en muchos documentos importantes sobre el problema. ( http://arxiv.org/pdf/math/030922 …)