Básicamente, por la misma razón por la que un círculo es la curva más corta que encierra un área determinada, cualquier corte mínimo (localmente) debe tener una curvatura constante y debe intersecar el límite perpendicularmente a menos que termine en un ángulo mayor que [matemático] 180 ^ \ circ [/ matemáticas] (¿por qué?) Eso deja tres posibilidades:
(No te aburriré con los detalles de mostrar que un corte que va de un lado a sí mismo, o del arco a sí mismo, o incluso un círculo en el interior del corte, no puede ser más corto. Una prueba completa necesitaría incluir estos detalles, y también debería mostrar que existe un corte mínimo en primer lugar).
Deje que [math] r [/ math] sea el radio del pastel; entonces el segmento tiene área [math] \ tfrac {r ^ 2} {2} \ theta [/ math].
- El corte rojo, de radio [matemática] s [/ matemática], corta un área [matemática] \ tfrac {s ^ 2} {2} \ theta [/ matemática], que es la mitad del corte cuando [matemática] \ tfrac {s ^ 2} {2} \ theta = \ tfrac {r ^ 2} {4} \ theta [/ math], o [math] s = \ tfrac {r} {\ sqrt2} [/ math]. La longitud del corte es [matemática] s \ theta = \ tfrac {r \ theta} {\ sqrt2} [/ matemática].
- El corte azul siempre es de longitud [matemática] r [/ matemática].
- Finalmente, para encontrar el área cortada por el corte verde, de radio [matemática] t [/ matemática], dibuje este triángulo rectángulo:
El área de la forma amarilla y púrpura es el área de la cuña amarilla, más el área de la cuña púrpura, menos el área del triángulo; y queremos que sea igual a la mitad del área de la rebanada:
[matemáticas] \ tfrac {r ^ 2} {2} \ tan ^ {- 1} \ tfrac tr + \ tfrac {t ^ 2} {2} \ tan ^ {- 1} \ tfrac rt – \ tfrac {rt} {2} = \ tfrac {r ^ 2} {4} \ theta [/ math]
Podemos resolver esto numéricamente para [math] t [/ math] dado [math] r [/ math] y [math] \ theta [/ math] (no hay una solución de forma cerrada); entonces la longitud del corte es [matemática] t \ tan ^ {- 1} \ tfrac rt [/ matemática].- ¿Cómo se prueba que la propiedad de elección codiciosa se mantiene en un problema dado?
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Entonces encontramos que
- el corte rojo es el más corto para [matemática] 0 <\ theta \ le 62.63957 ^ \ circ [/ matemática],
- el corte verde es el más corto para [matemáticas] 62.63957 ^ \ circ \ le \ theta \ le 180 ^ \ circ [/ matemáticas], y
- el corte azul es el más corto para [matemáticas] 180 ^ \ circ \ le \ theta [/ matemáticas].
(Las imágenes de arriba están dibujadas en el ángulo crítico [matemático] \ theta \ aprox 62.63957 ^ \ circ [/ matemático] para el cual los cortes rojo y verde tienen la misma longitud).