¿Cómo se explica que la longitud de un vector en [math] \ mathbb R ^ n [/ math] (donde [math] n> 3 [/ math]) puede determinarse mediante el teorema de Pitágoras?

Answer 1

Parece que estás buscando algo en las siguientes líneas. Dejar

[matemáticas] v = (x_1, x_2, \ ldots, x_n) [/ matemáticas]

ser algún vector en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Podemos descomponerlo como [math] v = u + w [/ math] donde

[matemáticas] u = (x_1, x_2, \ ldots, x_ {n-1}, 0) [/ matemáticas]

y

[matemáticas] w = (0,0, \ ldots, 0, x_n) [/ matemáticas]

(la fórmula para [math] w [/ math] obviamente tiene n-1 0’s). Aquí, [math] u [/ math] es la proyección de [math] v [/ math] en el subespacio “horizontal” tridimensional [math] \ mathbb {R de math] (n-1) [/ math] } ^ n [/ math] que consiste en vectores con la última coordenada 0, y [math] w [/ math] es la proyección en el eje ortogonal a ese subespacio.

Ahora podemos suponer, por inducción, que las longitudes de [math] u [/ math] y [math] w [/ math] ya nos son conocidas, ya que implican geometría en una dimensión inferior. Si suponemos que la geometría en el subespacio “horizontal” es idéntica a la de [math] \ mathbb {R} ^ {n-1} [/ math], vemos que

[matemáticas] | u | ^ 2 = x_ {1} ^ 2 + x_ {2} ^ 2 + \ ldots + x_ {n-1} ^ 2 [/ matemáticas]

mientras que, aún más simple,

[matemáticas] | w | ^ 2 = x_n ^ 2 [/ matemáticas].

Finalmente, el diagrama que consta de los tres vectores u, v, w vive completamente en un plano bidimensional situado dentro de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math], por lo que podemos aplicar el ordinario, 2-d Teorema de Pitágoras y concluir que

[matemáticas] | v | ^ 2 = | u | ^ 2 + | w | ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + \ ldots + x_n ^ 2 [/ matemáticas].

Sin embargo, debo mencionar que esta “prueba” pasa por alto algunas cuestiones fundamentales. Su pregunta supone que los vectores en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] tienen una “longitud”, y solo necesitamos determinar la fórmula para esta longitud dadas sus coordenadas. Un enfoque más cuidadoso sugeriría que [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] no es más que un conjunto de varias tuplas de números, y no tiene ninguna noción de “longitud” hasta que lo dotamos de uno. Con ese enfoque, esa fórmula que acabamos de probar se convierte en una definición, y no hay pruebas ni demostraciones involucradas.

Sin embargo, con este enfoque formal, las fórmulas para la longitud en 2d y 3d también se convierten en nada más que definiciones. Desde una perspectiva puramente geométrica, quizás sea más satisfactorio definir geometrías planas y espaciales utilizando sistemas de axiomas y luego probar el teorema de Pitágoras como consecuencia de estos axiomas. Es posible hacer lo mismo en dimensiones 4d o superiores, o adoptar un enfoque híbrido en el que construimos geometría 4d directamente a partir de las dimensiones 3d y 1d, que se supone que ya están “coordinadas”. Parecen ser caminos más arduos y no creo que los encuentres mucho más esclarecedores.

Answer 2

Si está a punto de alcanzar un nivel de abstracción ligeramente más alto, la longitud de un vector es realmente solo una propiedad que surge de la definición de un producto interno válido como [matemáticas] | \ vec v | = \ sqrt {\ langle \ vec v, \ vec v \ rangle} [/ math]. El producto interno estándar es [math] \ langle \ vec x, \ vec v \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ {n} x_iv_i [/ ​​math], y por lo tanto la ecuación con la que está teniendo problemas. Sin embargo, uno puede imaginar cualquier otro producto interno que, siempre que satisfaga todos sus axiomas relevantes, produzca otra medida de “longitud”. Además, dado un producto interno que satisface todos los axiomas relevantes, la medida de longitud asociada demuestra automáticamente la desigualdad del triángulo en una medida de distancia definida como [matemática] d (\ vec x, \ vec v) = | \ vec x – \ vec v | [/ math] (que es la definición estándar).

Answer 3

Comience con [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas] en lugar de general [matemáticas] n [/ matemáticas]. Una buena manera de aprender qué sucede con [matemáticas] n = 4 [/ matemáticas] de [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas], es fingir que estás en [matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] y preguntarte cómo puedes piensas en [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas].

El teorema de Pitágoras ocurre en un plano, un triángulo rectángulo con tres lados [matemática] x_1, x_2, v_2 [/ matemática], tenemos [matemática] x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 = v_2 ^ 2 [/ matemática], donde [matemática] ] v_2 [/ math] es la hipotenusa. Ahora pon el triángulo rectángulo en coordenadas bidimensionales, tenemos

Pero este diagrama todavía está a un paso de su fórmula de longitud para [math] n = 2 [/ math]. Si en cambio lo dibujamos de esta manera,

tenemos [matemática] v_2 = \ sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2} [/ matemática], la fórmula [matemática] n = 2 [/ matemática] directamente desde el punto [matemática] (x_1, x_2) [/ matemática ] Para extenderlo a [matemáticas] n = 3 [/ matemáticas], tenemos el siguiente dibujo,

Para encontrar [math] v_3 [/ math], aplicamos el teorema de Pitágoras en un triángulo encerrado por los lados [math] v_2, x_3, v_3 [/ math], porque [math] x_3 [/ math] es perpendicular a [math] x_1 , x_2 [/ math] plano así a [math] v_2 [/ math]. Tenemos [matemáticas] v_3 ^ 2 = v_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 [/ matemáticas]. Para encontrar la fórmula [math] n = 3 [/ math] length, aplicamos [math] v_2 ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 [/ math]. Tenemos [math] v_3 = \ sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2} [/ math]. Puede tener la fórmula directamente desde el punto [matemáticas] (x_1, x_2, x_3) [/ matemáticas].

Ahora para [math] n = 4 [/ math], para encontrar [math] v_4 [/ math], no tenemos un diagrama, pero podemos duplicar el razonamiento. Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo encerrado por los lados [math] v_3, x_4, v_4 [/ math], porque [math] x_4 [/ math] es perpendicular a [math] x_1, x_2, x_3 [/ math] espacio así a [matemáticas] v_3 [/ matemáticas]. Tenemos [matemáticas] v_4 ^ 2 = v_3 ^ 2 + x_4 ^ 2 [/ matemáticas]. Para encontrar la fórmula [math] n = 4 [/ math] length, aplicamos [math] v_3 ^ 2 = x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 [/ math]. Tenemos [math] v_4 = \ sqrt {x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 + x_4 ^ 2} [/ math]. Puede tener la fórmula directamente desde el punto [matemáticas] (x_1, x_2, x_3, x_4) [/ matemáticas].

Para encontrar la fórmula [math] v_n [/ math] para general [math] n [/ math], use el método de inducción. El mismo argumento anterior puede llevarlo de la fórmula [matemáticas] v_ {n-1} [/ matemáticas] a [matemáticas] v_n [/ matemáticas].