Teoría de números: dado cualquier entero positivo [matemático] n [/ matemático] que no sea 1, 2 o 4, ¿existen números primos [matemático] a, b, c, d [/ matemático] no mayores que [matemático] n [/ matemáticas] con [matemáticas] ab-cd = n [/ matemáticas]?

No soy un teórico de los números, pero si una computadora no produce un contraejemplo rápidamente, es probable que sea cierto pero no conocido. Los problemas de esta naturaleza con poca estructura algebraica son a menudo notoriamente difíciles, sin importar cuán creíble sea la conclusión. Los primos están relacionados con la multiplicación, no con la suma, y ​​los problemas relacionados con los números primos con la suma y / o la resta suelen ser muy difíciles.

Una declaración un poco más limpia (equivalente) de su pregunta es esta:

Dado cualquier número entero positivo [matemáticas] n [/ matemáticas] que no sea 1, 2 o 4, ¿existen números primos [matemáticas] a, b, c, d [/ matemáticas] no mayores que [matemáticas] n [/ matemáticas] con

[matemáticas] ab-cd = n? [/ matemáticas]

He comprobado que esto es cierto para [math] n [/ math] hasta 1000 con un script de Mathematica simple, aunque horriblemente ineficiente.

En la siguiente prueba (intento de a), supondré que la conjetura de Goldbach es VERDADERA.

Asume dos primos
[matemática] p, q [/ matemática] tal que [matemática] p = 2x-p ‘, q = 2y -q’ [/ matemática] donde x, y se pueden elegir lo que se desee y p ‘y q’ son números primos . Esto se desprende de la conjetura no comprobada. Por lo tanto, esta parte de mi prueba está actualmente incompleta (y lo seguirá siendo durante mucho tiempo).
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Ahora [math] pq [/ math] es un ‘semiprime’. Por lo tanto

[matemáticas] pq = (2a-p ‘) (2b-q’) [/ matemáticas]

Insinuando

[matemáticas] pq – p ‘q’ = 4ab-2bp’-2q’a [/ matemáticas]

Como a y b pueden elegirse arbitrariamente, el RHS puede agotar todos los números. No me he ocupado de los límites inferiores rigurosos para cada variable.

Por lo tanto, si la conjetura de Goldbach es capaz de agotar todos los números primos, las brechas entre dos números primos deberían poder agotar todos los números.

Nunca he visto la conjetura antes, pero puedo ver que la conjetura de Goldbach implicaría su enunciado donde 4 divide n. Por lo tanto, si esto no es cierto donde 4 divide n, entonces tampoco lo es la conjetura de Goldbach. Entonces, al menos para múltiplos de 4, un contraejemplo tendría que ser bastante masivo.

Si planea investigar esto, le sugiero que observe algunas de las propiedades de la forma de su diferencia de semiprimes. Parece ser el determinante de una matriz 2 × 2. Intenta jugar con valores propios; parecen combinar ideas de suma y multiplicación. Juega con la factorización prima de n y verifica sus congruencias en los módulos primos.