¿Pi está equivocado? ¿Es Tau el círculo correcto constante?

Usamos π porque ese es el símbolo tradicional para la razón del área de un círculo al área del cuadrado en su radio. Esa relación es también la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

Se han usado varias letras para esta relación. Sturm en 1689 usó e . William Jones usó π para la relación en 1706. Otros usaron símbolos diferentes. Euler usó p en 1734, pero π en 1736. Eso pareció ponerse al día y Goldbach y Johann Bernoulli lo usaron en 1739 en sus cartas a Euler, y Nikolaus Bernoulli lo usó en 1742. En 1800 era de uso común.

Sobre tau.

Pregunta si Tau es más preciso. No, no es ni más ni menos preciso.

Alguien sugirió usar [math] \ tau [/ math], el valor de [math] 2 \ pi [/ math], como una constante fundamental en lugar de usar [math] \ pi [/ math] como la constante fundamental.

Cada fórmula que involucra pi se puede convertir en una forumula que involucra tau, y viceversa. Por ejemplo, el área de un círculo es [matemática] \ pi r ^ 2 [/ matemática] o [matemática] \ tau r ^ 2/2 [/ matemática].

Cualquiera de los dos funciona, pero pi tiene influencia histórica.

Anexo sobre la historia de tau.

Tau comenzó con tres patas.

Bob Palais, en su artículo Pi está equivocado (enlaces a: Página en utah.edu), Matemáticas. Intelligencer , 23 (2001), 7–8, sugirió crear un nuevo símbolo para 2 π. Su padre había sugerido un pi de tres patas:


No está claro por qué un pi de una pierna fue sustituido por un pi de tres patas como un valor de 2 π aproximadamente diez años después de la publicación de este artículo.

Es bastante obvio que la constante correcta es la que actualmente llamamos [math] \ sqrt {\ pi} [/ math].

Por ejemplo, la (mejor) definición de la transformada de Fourier en dimensiones [matemáticas] n [/ matemáticas] es

[matemáticas] \ widehat {f} (\ omega) = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} f (x) e ^ {- i \ omega \ cdot x} dx [/ math]

lo que hace que la transformada inversa de Fourier

[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ n} \ widehat {f} (\ omega) e ^ {i \ omega \ cdot x} d \ omega [/ math]

Es molesto que haya un [math] \ sqrt {\ pi} [/ math] en este contexto. Eso necesita su propio nombre.

Puede quejarse de que esto hace que la circunferencia de un círculo sea fea. Pero eso es lo que sucede cuando no estás viendo la imagen más grande. El volumen de la bola [math] n [/ math] es

[matemáticas] V_n (R) = \ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (\ frac {n} {2} +1)} R ^ n [/ matemáticas]

y el volumen de la esfera [matemáticas] n [/ matemáticas] (la superficie de la [matemáticas] (n + 1) [/ matemáticas] -ball) es

[matemáticas] S_n (R) = \ frac {2 \ pi ^ {(n + 1) / 2}} {\ Gamma (\ frac {n + 1} {2})} R ^ n [/ matemáticas]

Nuevamente, también tenemos estúpidas apariciones de [math] \ sqrt {\ pi} [/ math].

Y, por supuesto, está la famosa integral gaussiana

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ 2} dx = \ sqrt {\ pi} [/ math]

Y de nuevo eso lleva a otras [matemáticas] n / 2 [/ matemáticas] en las dimensiones [matemáticas] n [/ matemáticas].

Estos no son solo exóticos. Estos son resultados importantes utilizados diariamente por matemáticos, físicos, ingenieros y estadísticos. Probablemente millones de personas en todo el mundo se vean obligadas a escribir todos los días una [matemática] \ sqrt {} [/ matemática] innecesaria alrededor de la constante con el nombre incorrecto.

Y si está interesado en matemáticas más exóticas, tenemos el producto zeta regularizado [matemáticas] 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots = \ exp (- \ zeta ‘(0)) = \ sqrt {2 \ pi} [/matemáticas]. Y, por supuesto, [math] \ frac {1} {2}! = \ Gamma (\ frac {3} {2}) = \ sqrt {\ pi} / 2 [/ math].

Es una lástima que los caprichos de los simples geómetras bidimensionales hayan hecho un montón de cosas para el resto de nosotros trabajando en dimensiones [matemáticas] n [/ matemáticas]. Está claro que muchos fenómenos adquieren [math] \ sqrt {\ pi} [/ math] extra cada vez que subes una dimensión. Cuanto antes le demos un nombre sensato, mejor. Discutir sobre [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] vs [matemáticas] \ tau [/ matemáticas] es una tontería.

Es atractivo simplemente hacer las cosas bien

Reemplace pi por tau y Gamma por Pi.
Vuelva a cablear la retina como un ojo de pulpo.
Negarse a aceptar el parche de hinchazón cruft:
Tire la base de código; reescribirlo desde cero.

… pero tienes que elegir tus batallas. Como la mayoría de las personas aquí, estoy bien con pi. Funciona. Si tuviera una máquina del tiempo y pudiera elegir nuestras convenciones, entonces seguro: iría con tau sobre pi. Y haría que las funciones gamma y factorial estuvieran de acuerdo. Ah, y prevenir las muertes prematuras de Galois, Abel, Ramanujan, Mirzakhani, etc.

Aunque creo que el fundamentalismo tauista es un poco tonto (cf. “elige tus batallas”), prefiero disfrutar del fervor nerd de la misma. Así que me gustaría saludar a un sitio web con mucho contenido matemático excelente: Teorema del día. El objetivo de este sitio es presentar muchos buenos teoremas y fórmulas en un formato conciso y de una sola diapositiva. Sin embargo, el autor del sitio es tauista, por lo que las fórmulas se ven así:

[matemáticas] \ displaystyle \ zeta (2n) = \ frac {(- 1) ^ {n + 1} B_ {2n} \ tau ^ {2n}} {2 (2n)!}. [/ math]