¿Hay un número menor que cualquier otro pero mayor que cero?

Answer 1

Depende de lo que quieras decir con la palabra ‘número’.

Para un matemático, hay un montón de cosas que puede querer decir con la palabra ‘Número’. Si bien, en el día a día, usamos la palabra ‘número’ para hablar de todos ellos, a veces es necesario ser más preciso.

Números naturales

El tipo de números más fácil de considerar son los ‘números naturales’: si puede contar algo, entonces está contando en números naturales … se ven como 1, 2, 3, 4, etc.

Todos ellos son lo que describiríamos como ‘positivos’ (no puede tener -1 manzanas, por ejemplo), pero hay diferentes momentos en los que puede o no puede incluir 0 como un número natural …

… sin embargo, si asume que N son los números naturales … 0,1,2,3…. entonces hay una respuesta a tu pregunta.

1

1 es mayor que cero …

… 1 es más pequeño que cualquier otro número natural.

Enteros

Los enteros son como números naturales, pero puede usar signos menos … así que -3 es un entero, al igual que -2, -4, -7378 y -587329571979123. Si va a permitir números negativos, entonces debe permitir 0 para que muchas cosas tengan sentido.

… entonces, si asumes que yo soy los enteros … -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 … entonces NO hay respuesta a tu pregunta.

Cualquier número entero que se te ocurra que sea mayor que 0 también es mayor que, digamos, -1 … Por lo tanto, no hay una solución posible que cumpla con ambos requisitos.

Numeros reales

Los números reales son básicamente los enteros, pero ahora vamos a permitir fracciones (y para el caso, un montón de cosas que ni siquiera se pueden expresar como fracciones, como Pi).

Si considera R, los números reales … entonces no hay respuesta, por la razón que Daniel Obenshain menciona, es decir, que si existiera, podría reducirlo a la mitad y obtener uno más pequeño … lo que significa que su primera suposición no fue responda … no importa cuál sea su suposición, siempre hay una manera de generar un número menor que cumpla con ambos requisitos … por lo que no puede haber una solución.

Números complejos

Los números complejos son, bueno, complejos. Añaden la idea de una cosa llamada i (que es la raíz cuadrada de menos 1.)

Lo extraño de los números complejos es que en realidad no existe una forma directa de definir una operación ‘mayor que’ con la que pueda trabajar. No se puede decir si 4 + 3i es más grande o más pequeño que 5.

Entonces, como tal, no hay una respuesta significativa, porque no puedes hacer la pregunta de una manera bien definida. (Es como preguntar ‘¿qué color huele más fuerte?’)

Por supuesto, hay trucos que puedes jugar para convertir números complejos en números reales, y luego comparar esos números reales (y en un sentido, 4 + 3i es tan grande como 5).

Pero entonces, tienes que ver si hay una respuesta para números reales, que no hay …

… así que no hay respuesta para números complejos

Entonces, SOLO hay una respuesta para los números naturales 1,2,3,4,5 … no para cualquier otra definición de ‘número’ que probablemente encuentres antes de la universidad.

[Editar: Cláusula final añadida en base al comentario del usuario de Quora]

Answer 2

Por “número” si se refiere a un número real / racional, entonces la respuesta es “no” como lo explicó Daniel Obenshain. Pero los matemáticos son un grupo extraño. Se imaginan “números” (ok, campos) que no obedecen esta idea. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Arc… .

Answer 3

Para ampliar lo que dijo David Karapetyan, la noción de un número infinitesimal (que es un número que satisface sus criterios) ha existido desde el comienzo del cálculo. De hecho, el cálculo se formalizó originalmente en términos de números infinitesimales, por lo que dy / dx para una función y (x) es una relación real de números infinitesimales. Para que esto tenga sentido, tiene que haber más de un número infinitesimal, por supuesto. Las dificultades para hacer rigurosa la noción de un número infinitesimal causaron que los matemáticos abandonaran este enfoque del cálculo en favor de la formulación habitual de límites épsilon / delta que se remonta a Cauchy y Weierstrass. Sin embargo, los infinitesimales, cuando se usan apropiadamente, dan las mismas respuestas que los límites y, a menudo, en menos pasos. En 1960, Abraham Robinson hizo rigurosos los infinitesimales con la teoría del análisis no estándar, que define una nueva clase de números llamados “hiperreales” que incluyen todos los números reales más infinitesimales y números infinitamente grandes. El análisis infinitesimal uniforme es una teoría diferente que incluye infinitesimales pero no números infinitamente grandes. Hay varios libros sobre estos temas (incluidos algunos baratos de Dover) que puede recoger si le interesa el tema. El libro de Robinson (Análisis no estándar) es bastante impenetrable sin una sólida formación en lógica y teoría de modelos, por lo que no debería ser el primer libro sobre el tema que lee.

ACTUALIZACIÓN: veo que la pregunta original era “¿hay _A_ ​​un número menor que cualquier otro pero mayor que cero?” y mi respuesta a eso no fue satisfactoria. Los sistemas de números que incluyen infinitesimales generalmente incluyen números infinitos de ellos, por lo que en esos sistemas no habría un infinitesimal único. Sin embargo, cualquier infinitesimal es menor que cualquier número real pero mayor que cero. No sé si hay sistemas numéricos que tengan un único número infinitesimal único.