¿El conjunto de números naturales incluye cero?

Answer 1

Si el conjunto de números naturales, [math] \ mathbb N [/ math], incluye el elemento cero es una cuestión de convención. En estos días, la convención entre matemáticos y autores suele incluir cero, como has aprendido. Parte del problema es que el concepto y el término son anteriores a su uso preciso y riguroso. Es anterior a la invención de un símbolo para representar cero …

Si quiere ser completamente inequívoco en inglés, puede decir enteros no negativos (para incluir cero) y enteros positivos (para excluir cero). Otros términos ambiguos son los números de conteo (que probablemente excluyen cero) y los números enteros (que incluyen cero y pueden incluir enteros negativos).

Si desea ser completamente inequívoco en símbolos matemáticos, puede definir el primer uso de [math] \ mathbb N [/ math] o usar uno de los siguientes:

[math] \ mathbb N ^ 0 = \ mathbb N_0 = \ {0,1,2,3, \ dotsc \} [/ math]

[math] \ mathbb N ^ * = \ mathbb N ^ + = \ mathbb N_1 = \ mathbb N _ {> 0} = \ {1,2,3, \ dotsc \} [/ math]

Pero ninguna de estas convenciones simbólicas es universal tampoco, por lo que aún tendrá que decir algo para ser completamente inequívoco 🙁

Answer 2

De hecho, no hay consenso en la definición de Número Natural. Cero es aceptado o no como un número natural dependiendo del libro o clase.

Se podría argumentar que los números naturales son los números utilizados para contar y ordenar, y siempre comenzamos a contar en uno, no en cero. Entonces la secuencia [math] a_1, a_2, \ ldots, a_n, \ ldots [/ math] podría escribirse como [math] (a_i) _ {i \ in \ mathbb {N}} [/ math], un pequeño cognitivo claridad.
Además, en los libros de cálculo o análisis, los autores prefieren evitar el cero como número natural porque es habitual usar [matemáticas] \ frac {1} {n} [/ matemáticas] al manipular los límites y no quieren escribir [ matemáticas] n \ neq 0 [/ matemáticas] todo el tiempo.

Pero existe el punto de vista de que los números naturales son los tamaños posibles para conjuntos finitos, y el conjunto vacío es finito. Este es el preferido por los teóricos y lógicos. El conjunto cero o vacío generalmente satisface formalmente muchas aserciones lógicas, por lo que uno puede argumentar que no hay razón para evitarlo. Otros, por otro lado, argumentan que estos casos generalmente parecen extraños y no ayudan a comprender la situación, por lo que deben evitarse.
Los algebraistas también aceptan comúnmente cero como natural, porque 0 tiene la importante propiedad algebraica de ser neutral con respecto a la suma.

Como el álgebra y la lógica son las ramas de las matemáticas puras más relacionadas con la informática, es normal que se considere natural en estas clases.

Answer 3

Si ve los naturales como el semigrupo libre en un generador, entonces cero no es natural.

Si ve los productos naturales como el monoide libre en un generador, entonces lo es.

Todo depende de lo que la persona quiera cuando usa los números naturales, y la mayoría de los autores especifican su elección al comienzo de su trabajo o cuando invocan los naturales. Para mí, los monoides son cosas mucho más naturales y de mejor comportamiento que los semigrupos, por lo que prefiero cero como natural.