Suponga que [math] f {\ left (\ frac {x + y} {2} \ right)} \ le \ frac {f (x) + f (y)} {2} [/ math] para todo [math] x, y \ in \ mathbb R [/ math]. ¿Se puede demostrar que [matemáticas] f {\ left (\ frac {x_ {1} + \ cdots + x_ {n}} {n} \ right)} \ le \ frac {f (x_1) + \ cdots + f (x_n)} {n} [/ matemáticas]? ¿Si es así, cómo?

Prueba Por inducción en [matemáticas] n [/ matemáticas]. Deje [math] n \ ge 2 [/ math] y suponga [matemáticas] \ displaystyle f {\ left (\ frac {x_1 + \ cdots + x_n} {n} \ right)} \ le \…
Si [math] a + b + c + d = K [/ math] y existen algunas restricciones para cada una de las cuatro variables, como [math] 0 \ leq a \ leq 8 [/ math], ¿cómo encuentro? todas las soluciones?

Usemos funciones generadoras. Considere expandir el siguiente producto: [matemática] (1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x ^ 8) [/ matemática] [matemática] (1 + x + x ^ 2 + \ cdots + x…
¿Qué debe saber todo programador sobre las ecuaciones de diofantina?

Como una persona con un verdadero amor por la programación y un amor tremendo, no correspondido e insaciable por las ecuaciones de Diophantine, mi respuesta sería absolutamente nada . No hay nada que todo programador necesite saber sobre…
¿Cómo puedo encontrar el número de pares de enteros positivos [matemática] x, y [/ matemática] de modo que [matemática] x ^ 2 + 3y [/ matemática] y [matemática] y ^ 2 + 3x [/ matemática] son ​​ambos números cuadrados perfectos?

Suponga sin pérdida de generalidad que [math] y \ geq x [/ math]. Entonces comprenda que la siguiente desigualdad también debe ser válida: [matemáticas] (y + 2) ^ 2> y ^ 2 + 3x> y ^ 2 [/…
Descubrí que hay un polinomio (nk) -gree (con propiedades interesantes), que puede darnos un número de Stirling del segundo tipo, en cualquier valor de ny k. ¿Vale la pena explorar el descubrimiento?

El hecho de que los números de Stirling del segundo tipo puedan ser generados por polinomios de esta manera es una consecuencia bastante simple de la relación de recurrencia básica satisfecha por estos números. Para hacer su observación…
¿Cómo se muestra que [matemáticas] (2 ^ a-1) (2 ^ b-1) = 2 ^ {2 ^ c} +1 [/ matemáticas] es imposible en enteros no negativos [matemáticas] a, b, [/ matemáticas] y [matemáticas] c [/ matemáticas]?

Es posible, pero las únicas soluciones son [matemáticas] (1,2,0), (2,1,0) [/ matemáticas]. Expandiendo la ecuación dada, tenemos [matemáticas] 2 ^ {a + b} -2 ^ a-2 ^ b = 2 ^ {2 ^ c}. [/ matemáticas] Mueva algunos…
Dados los números reales positivos x e y, demuestre que [matemáticas] \ frac {2} {\ frac {1} {x} + \ frac {1} {y}} \ le \ sqrt {xy} \ le \ frac {x + y} {2} [/ matemáticas]?

Para números reales positivos [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] [matemática] \ sqrt {x} – \ sqrt {y} \ geq 0 [/ matemática] o [matemática] \ sqrt {x} – \ sqrt {y} \ leq 0…
El producto de cuatro términos consecutivos de una progresión aritmética de enteros más el cuarto poder de la diferencia común es siempre un cuadrado perfecto. ¿Cómo se verifica esta identidad incorporando simetría en la notación?

Es muy fácil si asumes los términos correctos. Considere que la serie original es a a + d a + 2d a + 3d con a & d siendo entero, por lo que si tomamos a = a’-3d…
¿Cómo puedo resolver problemas de tipo de embalaje o mochila en Excel?

Si tiene una lista de solo siete u ocho elementos como se describe en los detalles, entonces las soluciones de fuerza bruta descritas en la respuesta de Justin Ma a Microsoft Excel: ¿Cómo puedo resolver el problema de…
¿Cuál es el significado del teorema de Faltings?

Uno de los campos más antiguos de las matemáticas es el estudio de las ecuaciones diofantinas. Básicamente, preguntas cuántas soluciones enteras (o números racionales) hay de una ecuación algebraica. El tipo más simple de ecuaciones de diofantina proviene…

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