Dada una ecuación de la forma [matemática] x (A ^ x) + C = 0 [/ matemática] (con la variable tanto en el nivel base como exponencial), ¿cómo resuelvo para [matemática] x [/ matemática]?

No hay forma de expresar [matemáticas] x [/ matemáticas] en términos de funciones elementales. La solución se puede obtener en forma de función Lambert W.

La función [math] W [/ math] se define como la inversa de [math] f (x) = xe ^ x [/ math].

Se considera como una función especial [math] log [/ math]. Por cierto, Wolfram Mathematica lo llama ProductLog .

Para resolver ecuaciones que involucran exponentes, el truco consiste en obtener todas las variables en el lado derecho, y luego manipular el lado derecho hasta que la ecuación se parezca a [math] a = be ^ b [/ math]. Entonces “tomas la [matemática] W [/ matemática] de ambos lados”, produciendo [matemática] W (a) = b [/ matemática].

Ahora, en este caso hacemos las modificaciones de la siguiente manera:

[matemáticas] x A ^ x = -C [/ matemáticas]

[matemáticas] xe ^ {x ln (A)} = -C [/ matemáticas]

Multiplicamos cada lado por [math] ln (A) [/ math] para llevarlo a [math] a = be ^ b [/ math] como se mencionó anteriormente:

[matemáticas] x ln (A) e ^ {x ln (A)} = -C ln (A) [/ matemáticas]

Entonces, [matemáticas] b = x ln (A) [/ matemáticas] y [matemáticas] a = -C ln (A) [/ matemáticas], así

[matemáticas] W (-C ln (A)) = x ln (A) [/ matemáticas]

Y la solución para [math] x [/ math] es:

[matemáticas] x = \ frac {W (-C ln (A))} {ln (A)} [/ matemáticas]

No sé de una buena manera de hacer una solución cerrada de esta cosa, pero si conectamos 2 para A y -1 para C, se convierte en 2 ^ (- x) – x = 0 (después de golpear ambos lados con log base 2), y si utiliza el método de Newton en esto, se me ocurre

x = .64118574450496

Quizás alguien más pueda ver cómo hacer una solución de forma cerrada; Simplemente no lo veo en este momento.

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