Si [math] \ Delta x [/ math] y [math] dx [/ math] ambos implican un cambio en x, entonces ¿qué tan pequeño debe ser [math] \ Delta x [/ math] antes de que se llame [math] dx [/ math]?

Answer 1

Trato de mantener el marco matemático en mi mente lo más anclado posible a las declaraciones significativas, e incorporar dilemas filosóficos a la notación, como lo hace cuando se trata dx como su propio objeto matemático *, lo cual es contrario a eso para mí. En la medida en que uso la notación diferencial, es simplemente como parte del azúcar sintáctico para alguna declaración limitante correspondiente.

Por ejemplo, podría escribir [matemática] \ frac {dy} {dx} = 6 [/ matemática], que es la abreviatura de “el límite como [matemática] \ Delta x \ a 0 [/ matemática] del cociente [matemática ] \ frac {y (x + \ Delta x) – y (x)} {\ Delta x} [/ math] es igual a 6 ”.

O [math] \ int_0 ^ 1 f (x) \, dx = 16 [/ math], que significa “el límite ** como [math] n \ to \ infty [/ math] de [math] \ sum_ {i = 1} ^ nf \ left (\ frac {i} {n} \ right) \ frac {1} {n} [/ math] es igual a 16 “.

En cálculo multivariable: [matemática] dz = 2 \, dx -3 \, dy [/ matemática] significa [matemática] \ lim _ {(\ Delta x, \ Delta y) \ a (0,0)} \ frac {z (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -z (x, y) – (2 \ Delta x-3 \ Delta y)} {\ sqrt {\ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2}} = 0 [/matemáticas].

Entonces, para aquellos que sienten que no entienden lo que está sucediendo cuando la gente arroja diferenciales, bueno, puedo relacionarme. El uso de diferenciales requiere que uno elija entre (1) tratarlos como símbolos para manipular de acuerdo con algunas reglas habituales que uno toma con el tiempo, o (2) comprender las afirmaciones rigurosas a las que las declaraciones que los involucran deben desempaquetar. El primero es intelectualmente insatisfactorio, y el segundo puede ser difícil de lograr sin algún entrenamiento en análisis.

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* Excepciones hechas para contextos donde dx recibe un significado riguroso, como en geometría diferencial o análisis no estándar.

** Digamos que [math] f [/ math] es continuo, por simplicidad.

Answer 2

dx no es un número positivo finito, y tampoco es cero. ¿Entonces que es? Eso sí fue una dificultad en el desarrollo lógico del cálculo; El obispo Berkeley lo llamó sarcásticamente “un fantasma de una cantidad difunta” y argumentó que quien podría soportar eso no debería tener dificultad para creer las doctrinas básicas del cristianismo.
La forma estándar de salir de la dificultad es definir un NO ‘infinitesimal’ como una cantidad fija infinitamente pequeña, ya que dicha bestia no existe, sino como una cantidad variable que tiende a cero, concretamente, como una secuencia de números finitos que tiende a cero. La relación de dos de tales cantidades puede tender a un límite finito, y la derivada, cuando existe, es precisamente ese límite. Cuando decimos que f (x + dx) = f (x) + f ‘(x) dx, lo que realmente queremos decir es que si una secuencia i > tiende a x, entonces la secuencia i)> tiende a f (x) y la relación de la secuencia de las diferencias i ) -f (x)> a la secuencia de diferencias i -x> tiende al límite finito f ‘(x).
También hay una salida no estándar de la dificultad, ideada por Abraham Robinson a mediados del siglo XX, que implica el uso de una lógica matemática avanzada para crear un sistema numérico real que incluye números infinitamente pequeños e infinitamente grandes; pero no necesita preocuparse por esa teoría (en realidad llamada ‘análisis no estándar’) todavía.

Answer 3

Si está pensando en [math] dx [/ math] al final de la integral, está ahí para servirle como recordatorio de qué variable está integrando.

De lo contrario, vea aquí la explicación entre [math] dx [/ math] como diferencial y como parte del símbolo derivado [math] df / dx [/ math]:

¿Cuál es la diferencia práctica entre un diferencial y un derivado?

Answer 4

Esta notación [matemática] \ Delta x [/ matemática] usada en el pasado para el cálculo de límites causa un problema de definición:

• No puede ser una variable dependiente de x, ya que esta noción no existe en matemáticas.
• ¿Es el valor en x de una función constante? en este caso, ¿cómo expresar que el valor puede llegar a ser tan cercano a 0, queremos? eso suena bastante complicado.

La noción de límite ya no usa esta notación.

Además dx, no se puede considerar como una variable. Además, una variable no puede acercarse a 0 o tender hacia 0 solo.

Al menos podemos usar una explicación basada en un límite, para justificar la notación de una integral.

Para dar una sensación de dx, lo define como una forma diferencial. Pero no trabajamos con dx para calcular los límites.

Answer 5

Con el símbolo [math] \, [/ math] [math] dx [/ math] describimos el cambio infinitesimal , el cambio que es infinitamente pequeño.

Esto significa que el valor absoluto de [math] \, dx [/ math] es casi 0. Puede decir que [math] \ left | \, dx \ right | [/ math] [math] = \ cfrac {1} { \ infty} [/ math].

Answer 6

Tan pronto como llegue a cero. (Sonríe y guiña un ojo)

Pero en serio, esta pregunta era el enigma lógico en el corazón del cálculo cuando Leibniz y Newton lo inventaron. Se les ocurrió el término “infinitesmal”.

La mayoría de los matemáticos modernos rechazan el concepto de “infinitesmal” como impreciso. Aunque hay algunas matemáticas alternativas que lo aceptan, la mayoría rechaza el infinitesmal porque, en última instancia, solo hay cero y no cero.

Por lo tanto, el concepto se reemplaza por la teoría del límite, que dice:

• Estudiamos delta x a medida que se acerca cada vez más a cero, aunque nunca estamos allí.
• Además (y esta es la clave), podemos acercarnos arbitrariamente a cero, haciendo que delta x sea tan pequeño como sea necesario para obtener un cambio arbitrariamente pequeño en delta y. (¿O es al revés?) De esta manera, obtenemos una definición práctica del límite de delta x. Y eso es lo que es dx.

Answer 7

Esta es una pregunta interesante. Quizás la mejor manera de describir [math] \ mathrm {d} x [/ math] no se trata de cuán pequeña es la distancia, sino de cómo forma una línea tangente a una curva cuando la diferencia de los dos puntos se aproxima a cero. Aquí es donde entran en juego los límites. Si realizamos [matemáticas] \ lim \ límites _ {\ Delta x \ a 0} \ frac {f (x + \ Delta x) -f (x)} {\ Delta x} [/ matemáticas], entonces tenemos una derivada. Tenga en cuenta que utilizamos el concepto de límites. Esto se debe a que estamos más interesados ​​en dónde “aterrizará” en función de los puntos vecinos. Si intentamos usar [math] \ Delta x = 0 [/ math], obviamente no funcionará.

Pero entonces, ¿cuál es esta distancia? Obviamente, no debería ser cero. De lo contrario, la pendiente será indefinida. La mejor manera de interpretar esto es a través de los límites. Como [matemática] \ Delta x \ a 0 [/ matemática], esta brecha se vuelve muy pequeña y no puede ser igualada por ningún otro número. Esto se llama infinitesimal. Al hacer esto, podemos preservar el valor de la pendiente de una función en un punto dado, en función de sus puntos vecinos. Es un concepto muy arbitrario, pero es aceptable.

Answer 8

ver esto es una noción matemática y puramente basada en el cálculo diferencial. En el límite “delta x” tiende a “cero”; será acuñado técnicamente como “dx”.

En el reino físico; El cambio de distancia o desplazamiento debería ser infinitesimal, diminuto que podría crearse mediante la fuerza controlada aplicada. Es puramente “apor” al aspecto primordial del cálculo.

Answer 9

¿Qué tipo de respuesta estás buscando?

No podemos decir que [matemáticas] \ triangle x = 0.2 [/ matemáticas] o [matemáticas] \ triángulo x = 0.0002 [/ matemáticas] para [matemáticas] \ triángulo x = dx [/ matemáticas]. No podemos representar [math] dx [/ math] en este formulario.

[math] dx [/ math] es una abstracción para un número muy pequeño que no es cero. Para cualquier número real finito que me des, diré que dx es más pequeño que eso.

Answer 10

Es minúsculo. Delta X es un cambio de 1 en el cálculo de las diferencias y no importa cuán pequeño sea el cambio si es delta -1 * 10 ^ –1 o -1 * 10 ^ -100000000000000000000000000000000000000000000000000000000… 000

Answer 11

∆x es el cambio en la variable x.

Si este cambio se hace tan pequeño que tiende a decir cero, uno o más, en otras palabras, limitándolo a alguna ‘a’, entonces se convierte en dx.