¿Cómo descubren los matemáticos nuevas ‘cosas’?

Esta es una pregunta muy interesante e importante. Hay dos niveles en los que se puede hacer la pregunta. Primero, ¿cómo descubren los matemáticos nuevos hechos sobre objetos que ya son bien conocidos? Por ejemplo, recientemente se descubrió que la brecha entre números primos sucesivos es infinitamente menor que un número fijo menor que 1000. Esta es una propiedad de los enteros positivos, los bloques de construcción más fundamentales de las matemáticas y conocida desde los albores de la civilización. (De hecho, Kronecker declaró que fueron creados por Dios!). A lo largo de los años, se ha realizado una gran cantidad de estudios para comprender las propiedades de los enteros positivos, y los matemáticos que trabajan en el área han desarrollado una gran intuición sobre cómo funcionan los enteros, al igual que un mecánico experto tiene una muy buena idea de cómo un vehículo trabajos. Se han desarrollado potentes herramientas que vinculan los enteros con el análisis y el álgebra. La mayoría de los nuevos descubrimientos de hechos comienzan como conjeturas basadas en el conocimiento íntimo de un área, y luego las personas intentan demostrarlo. Cuando el intento tiene éxito, tenemos un nuevo hecho matemático rigurosamente establecido.

Otro nivel en el que se puede formular la pregunta es preguntar: ¿cómo se descubren los nuevos objetos matemáticos? Comenzando con los enteros positivos de la supuesta creación divina, los matemáticos han definido sucesivamente nuevos tipos de números: enteros, racionales, reales, números complejos, cuaterniones, etc. Comenzando con el plano y el espacio euclidiano, los geómetras lo han generalizado a varias geometrías. Aquí, el acto de descubrimiento es de un orden diferente. De alguna manera, los matemáticos miran un mundo más allá de las matemáticas familiares, y encuentran que los objetos familiares no son más que casos especiales de construcciones más generales, y la introducción de la construcción más general resulta en una simplificación de la teoría. Los mejores matemáticos creativos son conocidos por introducir nuevos objetos matemáticos que han simplificado y ayudado enormemente nuestra comprensión de los conceptos existentes. Dos ejemplos famosos son la introducción de Riemann Surfaces de Riemann y Schemes de Grothendieck. Ambos fueron visionarios que pudieron desarrollar un punto de vista desde el cual una gran cantidad de resultados existentes podrían ser unificados y simplificados.

Uno puede preguntarse, ¿cómo sabemos que existen tales objetos recién acuñados (números complejos, el plano hiperbólico, superficies de Riemann, esquemas), etc. Este fue un problema grave hasta finales del siglo XIX. En ese momento, se dio cuenta de que la teoría de conjuntos se puede utilizar para proporcionar construcciones de estos objetos. Por lo tanto, el problema de la existencia de objetos matemáticos se reduce al problema de la consistencia de la teoría de conjuntos. Esto todavía no se entiende, pero la mayoría de los matemáticos aceptan alguna versión (generalmente ZFC) de la teoría de conjuntos como base de las matemáticas cotidianas.

En general, la verificación de ideas en matemáticas implica pruebas. Realiza un cierto conjunto de supuestos y luego deriva una secuencia de deducciones lógicas que implican que su idea particular debe ser cierta si los supuestos lo son. A veces, las pruebas de las ideas son los descubrimientos mismos, ya que las ideas pueden adivinarse por intuición, pero los argumentos para mostrar que las ideas son concluyentes son difíciles de encontrar. Otras veces, los descubrimientos en matemáticas son las ideas, consecuencias sorprendentes derivadas de las consecuencias derivadas de supuestos. A veces las personas piensan que ciertas cosas son ciertas dado un conjunto de suposiciones, pero su intuición es incorrecta. En este caso, la idea a veces se puede falsificar haciendo un argumento lógico que muestre dado el conjunto de supuestos de interés, la idea es falsa. A veces, la idea no puede ser probada o refutada a partir de un conjunto dado de supuestos. A veces puede probar esto, es decir, a veces puede demostrar que una idea no es demostrable ni demostrable dado un cierto conjunto de supuestos. A veces ni siquiera puedes hacer eso.

Si eso suena confuso, generalmente puede pensar que las matemáticas tienden a diferir de la ciencia más amplia en el sentido de que los estándares de verificación son de autoconsistencia en lugar de estar de acuerdo con la realidad. Sin embargo, dado que las matemáticas son ampliamente aplicables a los fenómenos de la vida real, las ideas matemáticas que a las personas les interesan a menudo están motivadas por preocupaciones del mundo real. Como un ejemplo especulativo de cómo podría haber surgido un interés matemático de este tipo, considere que las ecuaciones diferenciales son útiles para modelar fenómenos físicos. Las personas modelan algunos procesos físicos con ecuaciones diferenciales, por lo que quieren comprender mejor las ecuaciones diferenciales para comprender mejor la física que se está modelando. En el camino, las personas descubren muchas cosas intrínsecamente interesantes sobre ecuaciones diferenciales que son independientes de la física. Como resultado, algunas personas estudian temas relacionados que les interesan desde un punto de vista puramente matemático, sin pensar en las consecuencias físicas y el campo adquiere su propia identidad. Es posible que pueda argumentar, por ejemplo, que la teoría de la mentira se convirtió en un importante tema de investigación a través de algo que se asemeja vagamente a este esquema.

Eso no quiere decir que implique todos los temas de interés en matemáticas derivados originalmente de alguna aplicación. Por ejemplo, creo que sería muy difícil argumentar que muchos temas en teoría de números se originaron a partir de cualquier tema aplicado (aunque a veces se descubrieron aplicaciones, de todos modos). La gente acaba de encontrar patrones en aritmética que les parecieron interesantes y trabajaron para comprenderlos mejor, descubriendo un montón de cosas nuevas de matemáticas a medida que lo hacían.

En su mayor parte, diría que las ideas de las matemáticas surgen como ideas en cualquier otro campo de investigación. Las personas se unen a una comunidad de investigación que se ocupa de un tema en particular. Durante el curso de estudiar ese tema, ciertas ideas ganan fuerza y ​​generan interés dentro de esa comunidad (por ejemplo, personas influyentes señalan consecuencias lógicas que otros en la comunidad piensan que son claras). Eso tiende a dirigir el tipo de ideas que los investigadores buscan.

Ya se han dado muchas respuestas genéricas. Pero me gustaría dar una anécdota personal, ya que aún no he visto ninguno. Además, me gusta hablar de mi trabajo. Esperemos que esto le dé una idea aproximada de cómo va el proceso de descubrimiento y verificación a veces.

Lo nuevo que descubrí es un octágono cercano relacionado con un conocido grupo simple finito, [math] G_2 (4) [/ math]. En términos más simples, es un tipo particular de gráfico que tiene muchas simetrías y muchas propiedades interesantes.

¿Cómo fue descubierto?
Durante casi un año estuve trabajando para comprender y utilizar ciertas técnicas que mi supervisor había desarrollado para resolver ciertos tipos de problemas relacionados con polígonos cercanos y polígonos generalizados. Me pareció bastante interesante y después de un poco de trabajo pude demostrar un buen resultado [1], un resultado que mi supervisor conjeturó que era cierto. Pero esa es una historia diferente.

Como consecuencia de ese trabajo, comencé a hacer algunos cálculos con algo llamado Hall-Janko cerca del octágono HJ (también conocido como Cohen-Tits cerca del octágono). Quería calcular todas las funciones con valores enteros en sus puntos que satisfacen ciertas condiciones que pueden ayudarme a hablar sobre otros polígonos cercanos que contienen HJ como subgeometría. No había una geometría conocida que contenga HJ (en cierto sentido), por lo que parecía que lo que estaba haciendo me ayudaría a decir algo como “No existe un polígono cercano que contenga HJ (* condiciones aplicadas)”.

Pero, me esperaba una sorpresa. Cuando realmente calculé estas funciones, tanto mi supervisor como yo vimos que en realidad podría haber un polígono cercano que contiene HJ. Y para nuestra sorpresa, ¡había uno! Lo construimos usando estas funciones que había calculado y verifiqué que es un octágono cercano, en mi computadora. La construcción no parecía simétrica en absoluto, ya que tenía tres tipos diferentes de puntos, pero como aprendí, la apariencia puede ser engañosa. Mi idea era construir el gráfico de colinealidad de este octágono y ver qué tan regular es. Algunas preguntas obvias son: ¿es el vértice transitivo? distancia regular? altamente simétrico? (Estas son las cosas que sabía de mi conocimiento previo en el campo de la teoría de grafos).

Sage vino al rescate al responder estas preguntas. Resultó que el gráfico tenía 503,193,600 simetrías y satisface muchas propiedades agradables. Después de una búsqueda en Google descubrí que, de hecho, hay un grupo bien conocido de ese tamaño, [math] G_2 (4): 2 [/ math]. Eso parecía bastante sospechoso.

¿Cómo lo verificas?
Hasta ahora, todo lo que teníamos era solo un modelo de computadora de este nuevo octágono cercano junto con algunos cálculos que mostraban que tiene un grupo de automorfismo que probablemente sea el mismo que [math] G_2 (4): 2 [/ math]. Mientras tanto, también aprendí sobre algo llamado la Torre Suzuki. Eso parecía muy interesante e hice varias conjeturas sobre cómo podrían construirse todos esos gráficos en la Torre Suzuki usando el nuevo octágono que habíamos descubierto. Pero todos estos no son realmente teoremas matemáticos. Solo conjeturas, que pueden o no ser ciertas.

Entonces, lo que planeamos hacer a continuación fue demostrar de alguna manera todas estas cosas que pensamos que deberían ser ciertas, preferiblemente sin usar una computadora. Al motivarnos por algunas cosas que otras personas habían hecho con tales interacciones de grupos, geometrías y gráficos, se nos ocurrieron algunas ideas que podrían funcionar. Comenzaríamos con el grupo [matemáticas] G_2 (4): 2 [/ matemáticas], construiremos la geometría usando algunas de sus involuciones, demostraremos que es un octágono cercano y luego demostraremos todas las conjeturas que hemos formulado.

Nuestros esfuerzos dieron sus frutos y el plan funcionó. Escribí un borrador con todas las pruebas y se lo di a mi supervisor. Revisó todo, encontró algunos errores, sugirió algunas ediciones y me lo devolvió. Lo corregí todo, agregué algunas cosas más, cambié la disposición de ciertos teoremas para que fluya mejor y se lo devolví. Este proceso continuó durante bastante tiempo y cuando ambos estábamos contentos con la estructura final de cómo presentaríamos nuestros resultados, enviamos el artículo [2] a una revista de matemáticas.

¿Es falsificable?
Ciertamente, es posible que haya algunos grandes errores en nuestro trabajo que de alguna manera nos perdimos. Aunque creemos que es muy poco probable. Tenemos cálculos informáticos que muestran que todo lo que afirmamos es verdadero y todas las pruebas que tenemos nos parecen matemáticamente correctas. Además, otro matemático ha verificado algunos de nuestros resultados. Todavía puede haber algunos vacíos o errores en las pruebas que los árbitros (otros matemáticos que los editores de revistas elegirían para verificar nuestro trabajo) probablemente señalarían, pero si hay algunos, creo que serían fácilmente reparables.

Todavía podría ser que el artículo publicado, después de pasar por la revisión por pares, contiene algunos errores que todos nos perdimos. Personalmente he encontrado algunos pequeños errores en otros trabajos de investigación publicados. Después de todo, las matemáticas son un esfuerzo humano.

[1] En hexágonos semi-finitos de orden (2, t) que contienen un subhexágono
[2] Un nuevo octágono cercano y la torre Suzuki

Todo el campo de la Metamatemática se ocupa de esta pregunta. Sin embargo, para ser breves, la idea básica es que existen estos sistemas sobre los que queremos aprender (la aritmética básica puede ser la más estudiada). Para hacer esto, los matemáticos básicamente dicen, imaginemos un sistema que siga estas reglas; A, B, C, etc.

Ahora, ¿qué más podemos saber sobre este sistema?

En el futuro, si alguna vez encontramos un sistema para el cual se cumplen estos supuestos, podemos conocer de inmediato algunas de sus propiedades. Esto se hace esencialmente construyendo conjuntos de cadenas que representan estos modelos y luego haciendo que los conjuntos de operaciones de cadenas se correspondan con las operaciones que tiene el modelo. De esta manera, los matemáticos construyen un homomorfismo entre el modelo y la teoría. El conjunto de cadenas que corresponden a los supuestos (A, B, C, etc.) se designan como “verdaderos” y cualquier cosa que pueda probarse mediante las operaciones permitidas por estas reglas también se designan como “verdaderos”. Esto permite a los matemáticos probar cosas.

Los teoremas matemáticos se justifican mediante pruebas, es decir, razonamiento lógico basado en axiomas asumidos.

Pero antes de que podamos probar un teorema, necesitamos tener una declaración potencial del teorema en mente. ¿Cómo se pueden generar estas declaraciones de pre-teorema?

Una forma en que esto puede suceder es haciendo muchos cálculos con ejemplos específicos, ya sean números, objetos geométricos, objetos algebraicos u otros tipos de abstracciones que surgen de modelos científicos y problemas científicos. Después de un tiempo, puede comenzar a notar algunos patrones. Entonces puede intentar demostrar que los patrones son realmente ciertos.

Ahora, después de hacerlo por un tiempo, puede comenzar a notar que patrones similares aparecen en múltiples contextos diferentes. Puede comenzar a sospechar que hay alguna razón estructural general para esto. En otras palabras, observa que hay un patrón de patrones, por lo que ahora puede intentar probar que estas analogías, estos patrones de patrones, son realmente verdaderas. Estos tipos de teoremas suelen ser los más bellos y útiles.

Al igual que otras ciencias, las pruebas matemáticas también están inspiradas en la naturaleza. Algunos descubrimientos se hacen en el camino de la abstracción que depende puramente del razonamiento lógico. Encontrar cosas nuevas en matemática pura puede no ser aplicable, pero los matemáticos no se preocupan por eso. Las afirmaciones matemáticas se basan en la base de axiomas, teoremas, lemas con algún argumento lógico correcto que se requiere para la prueba. Por lo tanto, no necesita verificar un reclamo en matemáticas puras, ya que cada reclamo está asociado con una prueba válida. Sin embargo, más adelante puede ser aplicable en algún campo. En matemáticas aplicadas se hacen cosas que tienen más importancia práctica, que se pueden aplicar en algún campo. Se hacen muchas proposiciones al considerar algún problema práctico. Entonces, para algunos descubrimientos en matemática aplicada es más fácilmente verificable en la vida real que en matemática pura.

Le recomendaría este libro: Mathematica for Theoretical Physics: Electrodynamics, Quantum Mechanics, General Relativity, and Fractals: Gerd Baumann: 9780387219332: Amazon.com: Books

Considere el desarrollo de las transformaciones de Mellin.

Además, es posible que desee leer sobre transformadas de Laplace y transformadas de Fourier.

Las cosas nuevas en matemáticas requieren hacer investigación y estudios en matemáticas, luego obtener algunas ideas y desarrollarlas.

Es una experiencia muy gratificante.

Piense en el proceso de descubrimiento como si tuviera un patrón circular continuo; comenzando con cualquier intuición (o simplemente algo que desee confirmar), aplique rigor , en el camino encontrará inspiración (trayendo un nuevo punto de partida y así comenzará un nuevo círculo). Enjuague y repita..

Algunas intuiciones eventualmente (quizás) serán nuevas.

Los matemáticos y científicos están en el negocio de observar patrones y luego tratar de encontrar sus causas. Observan un nuevo fenómeno (el patrón) y usan experimentos para eliminar y fomentar ciertas causas posibles.

Una afirmación científica debe ser -testable- lo que significa que pueden ser corroborados por experimento o falsificados por experimento. Las afirmaciones no comprobables no son científicas en absoluto.