Esta es una pregunta muy interesante e importante. Hay dos niveles en los que se puede hacer la pregunta. Primero, ¿cómo descubren los matemáticos nuevos hechos sobre objetos que ya son bien conocidos? Por ejemplo, recientemente se descubrió que la brecha entre números primos sucesivos es infinitamente menor que un número fijo menor que 1000. Esta es una propiedad de los enteros positivos, los bloques de construcción más fundamentales de las matemáticas y conocida desde los albores de la civilización. (De hecho, Kronecker declaró que fueron creados por Dios!). A lo largo de los años, se ha realizado una gran cantidad de estudios para comprender las propiedades de los enteros positivos, y los matemáticos que trabajan en el área han desarrollado una gran intuición sobre cómo funcionan los enteros, al igual que un mecánico experto tiene una muy buena idea de cómo un vehículo trabajos. Se han desarrollado potentes herramientas que vinculan los enteros con el análisis y el álgebra. La mayoría de los nuevos descubrimientos de hechos comienzan como conjeturas basadas en el conocimiento íntimo de un área, y luego las personas intentan demostrarlo. Cuando el intento tiene éxito, tenemos un nuevo hecho matemático rigurosamente establecido.
Otro nivel en el que se puede formular la pregunta es preguntar: ¿cómo se descubren los nuevos objetos matemáticos? Comenzando con los enteros positivos de la supuesta creación divina, los matemáticos han definido sucesivamente nuevos tipos de números: enteros, racionales, reales, números complejos, cuaterniones, etc. Comenzando con el plano y el espacio euclidiano, los geómetras lo han generalizado a varias geometrías. Aquí, el acto de descubrimiento es de un orden diferente. De alguna manera, los matemáticos miran un mundo más allá de las matemáticas familiares, y encuentran que los objetos familiares no son más que casos especiales de construcciones más generales, y la introducción de la construcción más general resulta en una simplificación de la teoría. Los mejores matemáticos creativos son conocidos por introducir nuevos objetos matemáticos que han simplificado y ayudado enormemente nuestra comprensión de los conceptos existentes. Dos ejemplos famosos son la introducción de Riemann Surfaces de Riemann y Schemes de Grothendieck. Ambos fueron visionarios que pudieron desarrollar un punto de vista desde el cual una gran cantidad de resultados existentes podrían ser unificados y simplificados.
Uno puede preguntarse, ¿cómo sabemos que existen tales objetos recién acuñados (números complejos, el plano hiperbólico, superficies de Riemann, esquemas), etc. Este fue un problema grave hasta finales del siglo XIX. En ese momento, se dio cuenta de que la teoría de conjuntos se puede utilizar para proporcionar construcciones de estos objetos. Por lo tanto, el problema de la existencia de objetos matemáticos se reduce al problema de la consistencia de la teoría de conjuntos. Esto todavía no se entiende, pero la mayoría de los matemáticos aceptan alguna versión (generalmente ZFC) de la teoría de conjuntos como base de las matemáticas cotidianas.
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