¿Cuáles son los teoremas hermosos menos conocidos?

Answer 1

El teorema de Gauss Egregium

Este resultado indica que la curvatura gaussiana de una superficie permanece constante si una superficie se dobla sin estirarse.

Este teorema es hermoso en el sentido de que es inesperadamente simple: la curvatura gaussiana se define en términos de posición, por lo que es notable encontrar que en realidad no depende de él, bajo transformaciones (de ahí el nombre Teorema Egregium – Teorema notable ).

Esto tiene dos usos particularmente interesantes en la vida real.

En primer lugar, explica por qué si curva los lados de una rebanada de pizza hacia arriba, no se caerá cuando intente comerla: si los lados de la rebanada están doblados y el eje largo permanece plano, entonces la curvatura gaussiana de la pizza la pizza es cero, por lo que la rebanada no puede caerse ya que una curva en ambas direcciones tendría una curvatura gaussiana distinta de cero.

En segundo lugar, explica por qué no puede proyectar un globo en un mapa sin estirarlo: proyectar una esfera en una superficie plana convierte una superficie con curvatura gaussiana distinta de cero en una con curvatura gaussiana cero, por lo que la proyección debe estirar la superficie.

Answer 2

Un teorema que me dejó sin aliento, no solo por su declaración, sino por la ingeniosa elegancia de cinco líneas de su prueba, es el teorema de recursión de Kleene , un resultado fundamental y ubicuo en la teoría de la recursividad.

[matemáticas] \\ \\ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_[/matemáticas]

[matemáticas] \ textrm {En esencia, dado cualquier programa que desee escribir, puede diseñarlo de tal manera \ \ \ \ textrm {de manera que pueda alimentar automáticamente la sintaxis estática completa del programa} \\ \ textrm {que ha escrito en el programa como entrada que lee sintácticamente} \\ \ textrm {y manipula en el curso de su ejecución de esa misma sintaxis en} \\ \ textrm {su argumento de entrada original, lo que le permite crear funciones definidas} \\ \ textrm {por auto-definición recursiva especificando nada más que una función de sintaxis} \\ \ textrm {auto-relación recursiva.} \\ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \_ \\ \\ \\ \\ \\[/matemáticas]

Analicemos esto para comprender cuán sorprendente (creo) es esto, y cómo está en el corazón de todo un campo matemático (aunque insular).

Elige tu lenguaje de programación favorito. Suponga que desea escribir un programa que genere su propia sintaxis. Ok, comience a escribir (en pseudocódigo) “Imprimir […]”. Obviamente eso no funcionará; no mostrará el mensaje “Imprimir”.

El teorema de recursión de Kleene dice que existen Quines , o programas que generan su propia sintaxis, ¡utilizando la recursión matemática dentro del programa para generar la sintaxis de esa definición muy recursiva!

¡Pero mucho más! Suponga que desea escribir un programa que emite cualquier otra letra de su propia sintaxis dada alguna entrada, pero hace algo más con su propia sintaxis en otra.

O, en general, ser capaz de crear cualquier procedimiento recursivo de una manera que involucre no solo su entrada sino también la sintaxis estática del programa como argumentos.

Los teóricos de la recursión hacen uso de este teorema fundamental todo el tiempo en el que definen un programa en términos de sí mismo.

Answer 3

El análisis suele ser más frío, pero voy a seguir con el teorema espectral. Deje que [math] V [/ math] sea un espacio de Hilbert de dimensión finita (hay una versión menos bella para la dimensión infinita). [math] f ^ {ad} [/ math] es la función con respecto al producto interno que cumple [math] = [/ math ]

[matemáticas] f: V \ rightarrow V [/ matemáticas]

y [matemáticas] f ^ {ad} \ circ f = f \ circ f ^ {ad} [/ math]

Entonces hay una base ortogonal para [matemática] V [/ matemática] que consiste en vectores propios de [matemática] f [/ matemática] (implica que [matemática] f [/ matemática] es diagonizable)

Y todos los valores propios son reales.