Podría decirte todo tipo de razones por las cuales calc es la clase más importante que tomarás en la universidad (suponiendo que no tomaste álgebra en la universidad). Pero no lo haré, porque creo que un poco de investigación independiente podría mostrarte eso.
En cambio, trataré de enseñarte la comprensión central que tuve que hizo que calc fuera interesante para mí (y no solo un conjunto de reglas arbitrarias). Entiende que nunca enseño matemáticas por escrito, así que esto podría ser una mierda.
CALC ES EL ESTUDIO DE LA PENDIENTE
Calc comienza con una fórmula que probablemente ya conozcas:
[matemáticas] pendiente = subida / carrera [/ matemáticas]
lo cual, probablemente también conozcas como:
[matemáticas] m = (y2-y1) / (x2-x1) [/ matemáticas]
En la ecuación anterior, x2, x1, y2 e y1 corresponden a coordenadas en un plano: (x1, y1) y (x2, y2).
Lo que estamos tratando de hacer cuando calculamos la pendiente es determinar la velocidad a la que una línea dada aumenta o disminuye. Entonces, tomamos dos puntos en esa línea, y calculamos la pendiente usando la ecuación anterior. Una vez que terminan nuestros cálculos, podemos ver qué tan rápido “sube” una línea, cada vez que “corre”. Entonces, si la pendiente de una línea es 3, podemos decir que la línea está “subiendo” 3 unidades cada vez que “corre” 1 unidad.
Todo esto es bueno y bueno cuando se trata de una línea recta.
y = x
En el gráfico anterior, la pendiente es 1, y es una en todas partes.
Pero, no todos los gráficos son líneas rectas. Los gráficos tienen todo tipo de giros y vueltas en ellos. Entonces, si estuviera tratando con un gráfico que se veía así:
[matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas]
La pendiente es negativa a veces, cero otras veces y positiva otras veces. Entonces, simplemente elegir dos puntos arbitrarios en el gráfico y calcular la pendiente entre ellos realmente no me dará información precisa.
Por ejemplo, si escojo (-1, 1) y (1,1) como mis dos puntos, obtendría una pendiente de 0. Sin embargo, solo mirando el gráfico de arriba, veo que la línea está disminuyendo y aumentando el rango x = -1, x = 1.
Ese es el problema que calc resuelve.
QUE ES CALC
Entonces, ¿cómo hace eso?
Puede que no sea obvio, pero no es realmente justo preguntar cuál es la pendiente de la línea anterior. La pendiente es realmente diferente en cada punto de la gráfica. Puedes imaginar dibujar líneas rectas separadas que sean tangentes a cada punto en el gráfico anterior. Si hiciera eso, descubriría que cada una de esas líneas tangentes se veían diferentes, todas tendrían pendientes diferentes.
Entonces, si alguien le preguntara cuál es la pendiente del gráfico anterior, sin más información realmente no podría responder la pregunta. Por el contrario, alguien tendría que preguntarle “cuál es la pendiente del gráfico anterior en el punto x = 1, o x = 3, etc.
De eso se trata calc. Calc le permite calcular la pendiente de una línea en un punto específico de esa línea.
CÓMO FUNCIONA CALC
Si te preguntara cuál era la pendiente de la línea anterior en x = 1, probablemente harías algo como esto:
Elegiría dos puntos que rodean x = 1, tal vez x = 1.5 yx = .5,
Entonces resolverías la pendiente.
Los dos puntos que usaría para hacer esto serían (1.5, 1.25) y (.5, .25). Obtendría el resultado m = 1.
Pero esa sería la respuesta incorrecta, como aprenderá más adelante, el resultado real es 2.
Entonces, ¿por qué te equivocaste?
Para líneas como las anteriores, la pendiente cambia constantemente . Por lo tanto, elegir dos puntos que estén a cierta distancia es probable que produzca un resultado incorrecto.
Para solucionar este problema, debemos elegir dos puntos que estén infinitamente cercanos entre sí.
Para hacer esto, presentamos otra variable h.
Solo imagine que h es el número más pequeño que se le ocurra. Entonces, si tengo una variable “x”, “x + h” está infinitamente cerca de x.
Usando esta variable h, ahora podemos calcular la pendiente de la línea anterior en un punto dado.
CALC EN ACCIÓN
Primero, algunos conceptos básicos.
En un gráfico, y y x están íntimamente relacionados. Entonces, en el gráfico anterior, [matemáticas] y = x ^ 2 [/ matemáticas], y está claramente relacionado con x.
Entonces, si x = 2, y = 4; si x = b, y = [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas], si x = x1, y = [matemáticas] x1 ^ 2 [/ matemáticas] y así sucesivamente.
Vamos a calcular la pendiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] usando los siguientes dos puntos:
[matemáticas] (x, x ^ 2) [/ matemáticas]
[matemáticas] (x + h, (x + h) ^ 2) [/ matemáticas]
La coordenada y es simplemente la coordenada x al cuadrado.
Entonces, conectamos eso:
[matemáticas] x ^ 2 – (x + h) ^ 2 / x – (x + h) [/ matemáticas]
Nosotros simplificamos
[matemáticas] x ^ 2 – (x ^ 2 – 2xh – h ^ 2) / x – x + h [/ matemáticas]
Simplemente otra vez
[matemáticas] x ^ 2 – x ^ 2 – 2xh + h ^ 2 / h [/ matemáticas]
Y otra vez
[matemáticas] 2xh + h ^ 2 / h [/ matemáticas]
Para finalmente obtener:
2x + h
Pero, recuerde, h es infinitamente pequeño. Como, realmente muy muy pequeño. Entonces, lo llamaremos cero.
Obtenemos:
2x + 0 = 2x
2x es la ecuación para la pendiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en cualquier punto. Entonces, la pendiente de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en el punto 1 es 2 (1) = 2.
LECCIÓN APRENDIDA
Me doy cuenta de que algo de esto es difícil de seguir. Solo tenlo en cuenta a medida que avanzas en tu curso de cálculo.