Los propietarios de doctorados matemáticos y los candidatos de doctorado que intervienen y nos dicen al resto de nosotros que los pensadores altamente intuitivos no se ven sofocados por las matemáticas rigurosas, o al menos sugieren fuertemente que no deberían ser sofocados por eso, huele un poco para mí, como la gente rica que le dice a la gente pobre que todo lo que tienen que hacer para tener éxito es trabajar duro. En resumen, apesta a privilegios: a personas que (en su mayoría) se benefician del sistema actual en virtud de sus antecedentes, que pueden, con disciplina, analizar textos largos y abstrusos sin perder interés, pero que de otro modo son sordos al tono. las dificultades de otros que tal vez no aprendan como ellos.
Para aquellos que creen esto, me gustaría proponer algo: en lugar de ofrecer su opinión personal con nada más que su propia experiencia personal, ofrezca evidencia científica .
Dicho esto, ahora seré algo contradictorio, aunque solo sea para ofrecer una perspectiva contrastante en un intento inútil de contrarrestar todo el pshawwing y pooh-poohing de personas que ya tienen éxito dentro del marco existente:
Mi opinión personal es que, si bien el rigor es esencial para las matemáticas, e incluso puede ser hermoso, es subóptimo para la transmisión de información y, de hecho, conduce a una autoselección artificial en la comunidad matemática, donde el fracaso se correlaciona más con una capacidad restringida para aprender matemáticas de la manera convencional, que con la capacidad de comprender realmente las abstracciones y razonar de manera abstracta.
El Método Gavage de la Pedagogía Matemática
Aquí, déjame darte una idea de lo que las personas que aprenden matemáticas teóricas tratan regularmente. Primero, eche un vistazo a la página 17–19 de esto:
https://math.hawaii.edu/home/tal …
Ahora, no tienes que entender las matemáticas. Solo mire las longitudes a las que llega el autor para definir una prolongación, sistemas de contacto y espacios de chorro. Ahora, adivina de qué se trataba todo eso. Si sabes qué son las ecuaciones diferenciales parciales (que requieren, como máximo, Calc III), puedo decirte:
Una ecuación diferencial parcial se puede expresar como una función de f, sus derivadas parciales y sus variables:
[matemáticas] F (x, y, z,…, f, \ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y}, \ frac {\ partial f} {\ parcial z}, …) = 0 [/ matemáticas]
Por ejemplo, si
[matemáticas] -y \ frac {\ partial f} {\ partial x} + x \ frac {\ partial f} {\ partial y} = 0 [/ matemática]
entonces, si establecemos
[matemáticas] F (x, y, x’y ‘) = -yx’ + xy ‘[/ matemáticas]
entonces nuestra ecuación diferencial puede reexpresarse como,
[matemáticas] F (x, y, \ frac {\ partial f} {\ partial x}, \ frac {\ partial f} {\ partial y}) = 0 [/ matemática]
En otras palabras, es una función no solo en el espacio subyacente, sino en un espacio dimensional superior que también proporciona una dimensión para cada derivada parcial mencionada en la ecuación. Eso es todo.
De eso se trataba todo eso.
En resumen, el autor se basó en una prosa excesivamente formal, técnica, abstrusa, para presentar lo que de otro modo sería una idea relativamente concreta y simple. Yo llamo a esto el Método Gavage para enseñar matemáticas. A saber, para aprender un concepto, se lo trata con un proceso desagradable de ideas de alimentación forzada, y esto está en todas partes en la literatura matemática. Por alguna razón, la madurez matemática requiere no proporcionar intuición, motivación o, Dios no lo permita, imágenes y ejemplos concretos, que ilustren su idea.
De hecho, incluso algunos matemáticos admiten que esta evasión de la motivación a favor del rigor, al introducir conceptos, es contraproducente. Considere, por ejemplo, la reciente controversia en torno a la supuesta prueba de Mochiziuki de la conjetura ABC. Para aquellos que no son conscientes de esto, hace unos años, un matemático muy respetado, Shinichi Mochiziuki, publicó una serie de documentos sobre una teoría que había desarrollado, la Teoría del Teichmuller interuniversal, que según él, contenía una prueba de la Conjetura ABC, un famoso problema sin resolver.
El problema era que, en su mayoría, había desarrollado no solo las matemáticas detrás de estos documentos, sino también las matemáticas que lo respaldaban, de manera aislada, de modo que otros matemáticos destacados al leerlos, en su mayoría, los encontraban incomprensibles. Era tan incomprensible que solo ahora las personas comienzan a tener indicios de lo que se trata.
¿Cuál fue la respuesta inicial de Mochiziuki a las personas que le pidieron que tal vez explicara algo que le importaba lo suficiente como para pasar más de 10 años trabajando?
Parafraseando, fue: “Lea los periódicos desde el principio”.
Que mis amigos, es el problema con la literatura matemática teórica en pocas palabras. Para comprender una idea, no solo debes esforzarte por comprender la nueva idea, que, sin duda, puede ser algo contra-intuitiva, sino que primero debes ejecutar un guante de prosa demasiado formal, intimidante, para llegar allí. Mientras tanto, el comunicador original de las ideas permanece indiferente, o incluso hostil, a su difícil situación. Después de todo, pueden analizar eficientemente la prosa excesivamente técnica. ¿Por qué no puedes? No puedo enfatizar lo suficiente lo ineficiente que es esto para comunicar ideas.
Imagínese sentado, lo que escuchó fue un buen libro, diga “El león, la bruja y el armario”, solo para enfrentar lo siguiente:
Resumen
Se presenta un escenario hipotético, en el que el espacio-tiempo es como una 4-superficie orientable conectada no trivial sin límite. Se supone que, en tal escenario, existen cuatro niños que explotan esta estructura no trivial a través de una conexión establecida a través de un mueble particular construido de madera. Se describen eventos relacionados con la geodésica no convencional de cada niño, que culmina en una confrontación entre dos partes opuestas.
Sección 1
Recordemos que una superficie 4 orientable no trivial como una variedad con género, g, de tal manera que …
Nadie querría leer una historia tan atrozmente contada y, sin embargo, por alguna razón, creemos que está completamente bien presentar de esta manera lo que de otro modo serían ideas hermosas y atractivas.
Ahora, he leído varias respuestas, aquí y en otros lugares, que sostienen, esencialmente, que “la comprensión se está acostumbrando a las ideas”, y que la intuición es, por lo tanto, ilusoria. Los defensores de tales ideas creen que la mayoría de las ideas matemáticas no pueden entenderse de manera competente sin dedicar el tiempo necesario para aprender todas las reglas extrañas y formales asociadas con ellas, incluso si son tangenciales a la idea básica. Con el debido respeto, sospecho que esto es fertilizante.
No me malinterpretes. No hay “almuerzo gratis” por así decirlo; Para comprender algo de manera competente, debe comprender sus requisitos previos. Nunca entenderá, digamos, cálculo, sin comprender primero qué es una línea y cómo resolver ecuaciones lineales. Donde mi opinión difiere de la mayoría de las otras expresadas aquí, es que obtener una comprensión rigurosa generalmente no es un requisito previo. Uno puede entender cómo lidiar con los diferenciales sin preocuparse por los conjuntos abiertos, los radios de convergencia, los cortes de Dedekind, etc. No es que tales cosas no sean importantes; de hecho, aprender sobre tales cosas a menudo es una herramienta valiosa para informar la intuición, pero no es necesario para hacer un cálculo competente.
A quien el sistema favorece actualmente
Durante el breve período que ingenuamente consideré convertirme en matemático, audité una clase de álgebra abstracta graduada, que usó https: //math24.files.wordpress.c … como libro de texto.
Solo mira ese primer capítulo. Míralo.
Sin embargo, debo admitir que probablemente no estaba listo para este curso, había tomado un curso en Anillos y campos, y había pasado algún tiempo leyendo Galois Theory de DJH Garling (otro ganador, aunque no tan malo). Ni una sola vez el instructor ofreció motivación para ninguna de las estructuras, o incluso teoremas, estaba demostrando. Recuerdo haberle preguntado, un día, por qué nos preocupamos por una estructura particular: subgrupos resolubles (una pregunta para la que ya sabía la respuesta, pero quería ver qué diría). Él respondió inútilmente algo en el sentido de: “Bueno, los grupos resolubles son un objeto de interés”. Los grupos resolubles, por cierto, son lo que usamos para mostrar que los polinomios de grado mayor que 4 no pueden resolverse mediante radicales.
Cuando llegamos a los subgrupos de Sylow, ya casi había tenido suficiente. Lo que lo selló para mí fue un intercambio que tuve con los otros estudiantes un día. La clase apenas comenzaba y estábamos esperando a que entrara el profesor. Algunos estudiantes estaban discutiendo sobre los conceptos difíciles que el profesor había presentado. Al detectar su consternación, recurrí a uno de ellos y dije: “Mi problema con todo esto es que él no proporciona ninguna motivación para los conceptos”.
El otro se rió y me dijo: “Mira, ahí es donde diferimos. Me encanta cuando la gente me habla de matemáticas ”. Mientras decía esto, sus ojos brillaban con un fervor casi religioso.
Los demás en la clase, coincidieron abrumadoramente, me regañaron tácitamente por mi hastío.
Fue entonces cuando decidí que no era de su clase.
Un poco más tarde, compartí esta insatisfacción con un conocido que, en ese momento, estaba obteniendo un Ph.D. en matemáticas. Su respuesta fue: “Estás equivocado. Las matemáticas son hermosas “.
Por supuesto, nunca había dicho que las matemáticas no fueran hermosas. Había dicho que la forma en que se comunicaba era desagradable, y en realidad oscurecía su belleza. Pero para ellos, los dos son sinónimos, por alguna razón. Para ellos es pura poesía. Para mí, es un pastel delicioso que ha sido cubierto con una gruesa capa de lodo, por lo que, para apreciar el dulce interior, debo pasar horas masticando trozos de su cáscara asquerosa.
Estas personas son emblemáticas de casi todos los matemáticos que he conocido. Disfrutan del método de evaluación, pero, lo que es más importante, consideran que cualquier persona que no aprecie la presentación demasiado formal de ideas matemáticas por lo demás relacionables simplemente no es un material matemático, como si lo que cuenta en matemáticas es encontrar una transmisión de ideas tan desagradable , y no aprender realmente los métodos subyacentes.
En pocas palabras, creo (pero sin evidencia de respaldo científico), que las personas que prosperan en la academia de matemáticas son, en promedio, las que aman leer una prosa demasiado técnica o aquellas que, al menos, pueden evitar perder el interés. el tiempo suficiente para llegar a una idea que valga la pena conocer.
Cualquier otra persona que pueda disfrutar aprendiendo sobre bellas ideas, como, por ejemplo, las Funciones Elípticas (y Theta) de Jacobi, pero igualmente disfruta de otros ejercicios intelectuales que no implican masticar grandes cantidades de tiza conceptual durante 30 minutos solo para darse cuenta de que el autor es hablando de un concepto relativamente simple, tenderá a quedarse en el camino.
Pero, de nuevo, esta es solo mi opinión. Lo que realmente necesitamos es un estudio que intente capturar la eficacia del método de sonda. Quizás uno de esos estudios ha sido escrito.
Hay más que tengo que decir sobre esto, pero creo que, por ahora, he dicho lo suficiente.
