¿Cómo funciona la integración por sustitución? ¿Cómo es que podemos sustituir una función algebraica por una función trigonométrica?

Answer 1

Una sustitución es solo un cambio de variables que permite que la integral tome una forma que pueda integrarse más fácilmente. (Si está buscando una respuesta sobre la sustitución en U, puede consultar mi respuesta anterior en ¿Cómo podemos formar una intuición sobre por qué funciona la integración por sustitución?)

Ahora, hablando específicamente sobre la sustitución trigonométrica, la idea es que algunas integraciones algebraicas no son fáciles de lograr, pero si usa ideas trigonométricas y sustituye todas las variables (incluyendo “dx”, etc.), la integral toma.

Las principales ideas trigonométricas que utilizamos en la sustitución trigonométrica son básicamente SOHCAHTOA (las definiciones de seno, coseno y tangente de un triángulo rectángulo)

[Solo como un recordatorio:
seno = opuesto / hipotenusa
coseno = adyacente / hipotenusa
tangente = opuesto / adyacente]

La mejor manera de ver cómo funciona es hacer un ejemplo.

Digamos que tenemos la integral:

[matemáticas] \ int _ {- 1} ^ 1 {\ sqrt {1-x ^ 2} dx} [/ matemáticas]

Para resolver esto, podemos usar la sustitución trigonométrica, dibujando un triángulo rectángulo para justificar la sustitución.

Este es un triángulo rectángulo válido; Por teorema de Pitágoras:

[matemáticas] (\ sqrt {1-x ^ 2}) ^ 2 + x ^ 2 = 1 ^ 2 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que llamé al ángulo en la parte inferior izquierda “Y”. Se me permite llamar a ese ángulo lo que quiera; “theta” también es una variable válida.

Ok, ahora podemos comenzar a hacer algunas sustituciones. Si miramos el coseno del ángulo Y obtenemos:

[matemáticas] \ cos (Y) = \ frac {\ sqrt {1-x ^ 2}} {1} = \ sqrt {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

Así que cos (Y) parece estar en nuestro integrando, ¡genial!

Ahora el siguiente paso es encontrar un sustituto para dx (¡esta es una parte muy importante! ¡Solo puede llevar la integración si la variable es la misma en el integrando y en la parte d “variable”!

Ahora mira el seno del ángulo Y:

[matemáticas] \ sin (Y) = \ frac {x} {1} = x [/ matemáticas]

Tomando derivados implícitos de ambos lados:

[matemáticas] \ cos (Y) dy = dx [/ matemáticas]

Entonces ahora podemos reemplazar todas las partes de la integral

[matemáticas] \ int_ {a} ^ {b} {cos ^ 2 (Y) dY} [/ matemáticas]

También debemos reemplazar los límites de la integral; Esto se hace al encontrar los valores de Y que corresponden a los valores [matemática] x = \ pm 1 [/ matemática]

Esto puede hacerse nuevamente mediante la función seno:

[matemáticas] \ sin (a) = -1 \ flecha derecha a = – \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (b) = 1 \ flecha derecha b = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

Entonces la forma final de la integral es:

[matemáticas] \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ cos ^ 2 (Y) dY} [/ matemáticas]

Esta es una integral bien informada, pero también se puede resolver mediante una sustitución adicional (esta es puramente trigonométrica, sin cambio de variables)

Recordatorio: [matemática] \ cos ^ 2 (Y) = \ frac {1} {2} {\ cos (2Y) + 1} [/ matemática]

Haciendo esa sustitución final:

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int _ {- \ frac {\ pi} {2}} ^ {\ frac {\ pi} {2}} {\ cos (2Y) + 1 dY} [/ math ]

Finalmente integrando eso da:

[matemáticas] (\ sin (2Y) + \ frac {Y} {2}) | _ {a} ^ {b} = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]

La sustitución trigonométrica no es fácil. Hay muchos pasos y cambios de variables, pero son útiles porque no hay una forma cerrada para evaluar algunas integrales algebraicas, especialmente aquellas que contienen raíces cuadradas como la que se ve arriba.

Espero que este ejemplo te ayude a verlo un poco mejor. En general, la idea es que cada término del integrando tiene que ser sustituido por una función correspondiente del ángulo.

Answer 2

Integración por sustitución:

La integración por sustitución (sustitución en U) es una de las técnicas de integración más simples que se pueden utilizar para facilitar la integración. La sustitución en U se usa cuando una integral contiene ambos, una función y su derivada, como –

[matemáticas] \ int sen x \, cos x \, dx [/ matemáticas]

Vemos que esta integral contiene ambos, la función [math] sen x [/ math] y su derivada [math] cos x [/ math].

Entonces, utilizamos la sustitución en U, porque luego toma una forma que se puede integrar fácilmente.

La mejor manera de ver cómo funciona, tome un ejemplo;

[matemáticas] \ int 2 x \ sqrt {1 + x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Identificación del sustituto apropiado para la integral:

Esta integral contiene ambos, una función y su derivada, por lo que aquí [matemática] 1 + x ^ 2 [/ matemática] es el término tomado para la sustitución porque su derivada [matemática] (2x) [/ matemática] está presente en la integral.

Por lo tanto, sustituir

[matemáticas] u = 1 + x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ por lo tanto \; \ int 2 x \ sqrt {u} \, dx [/ math]

Pero, [math] \ sqrt {u} [/ math] no se puede integrar con respecto a [math] x [/ math], por lo que determinamos el valor de [math] dx [/ math],

Al diferenciar ambos lados de

[matemáticas] u = 1 + x ^ 2 [/ matemáticas]

obtenemos :

[matemáticas] du = 2 x \, dx [/ matemáticas]

Sustitución de integral:

[matemáticas] \ int 2 x \ sqrt {1 + x ^ 2} \, dx = \ int \ sqrt {1 + x ^ 2} 2x \, dx = \ int \ sqrt {u} \, du [/ math]

Solución de integral:

[math] \ sqrt {u} [/ math] se puede escribir como [math] u ^ {\ frac {1} {2}} [/ math] eliminando el signo racional,

[matemáticas] \ int u ^ {\ frac {1} {2}} \, du = \ frac {u ^ {\ frac {3} {2}}} {\ frac {3} {2}} + c \ ;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\{\porque\ ; \ int u ^ n \, du = \ frac {u ^ {n + 1}} {{n + 1}} \} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {2} {3} u ^ {\ frac {3} {2}} + c [/ matemáticas]

Donde [math] c [/ math] es la constante.

Ahora, regrese a la variable original [math] x, [/ math] porque necesitamos obtener nuestra respuesta en términos de [math] x. [/ Math]

Así,

[matemáticas] \ frac {2} {3} u ^ {\ frac {3} {2}} + c = \ frac {2} {3} (1 + x ^ 2) ^ {\ frac {3} {2 }} + c [/ matemáticas]

Sustitución trigonométrica:

Sustituimos una función algebraica por una función trigonométrica porque una sustitución trigonométrica nos ayuda a obtener un cuadrado perfecto debajo del signo radical. Esto simplifica la función integrando.

La mejor manera de ver cómo funciona, tome un ejemplo;

[matemáticas] \ int \ frac {dx} {(x ^ 2 + 9) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ matemáticas]

Podemos escribir la integral como –

[matemáticas] \ int \ frac {dx} {(3 ^ 2 + x ^ 2) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ matemáticas]

Porque tendrá la forma de [math] \ sqrt {a ^ 2 + x ^ 2} [/ math]

y así podemos hacer una sustitución estándar, ya que ayuda a obtener un cuadrado perfecto.

Entonces, sustituimos

[matemáticas] x = a \; tan \ theta \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \ {\ sqrt {a ^ 2 + x ^ 2} \ rightarrow \; put \; x = a \; tan \ theta \} [/ math]

donde [matemáticas] a = 3 [/ matemáticas]

por lo tanto,

[matemáticas] x = 3 \; tan \ theta [/ matemáticas]

Ahora tenemos –

[matemáticas] (x ^ 2 + 9) ^ {\ frac {3} {2}} = \ big ((3 \; tan \ theta) ^ 2 + 9 \ big) ^ {\ frac {3} {2} } = (9 \; tan ^ 2 \ theta + 9) ^ {\ frac {3} {2}} [/ math]

[matemáticas] = 9 ^ {\ frac {3} {2}} (tan ^ 2 \ theta + 1) ^ {\ frac {3} {2}} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;…. (1) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ porque \; 1 + tan ^ 2 \ theta = sec ^ 2 \ theta [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto \; [/ matemáticas] Sustituimos esto en [matemáticas] (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] = 9 ^ {\ frac {3} {2}} (seg ^ 2 \ theta) ^ {\ frac {3} {2}} = 27seg ^ 3 \ theta [/ matemáticas]

Ahora, tenemos [math] \ int \ frac {dx} {27sec ^ 3 \ theta} [/ math]

Aquí, [math] sec ^ 3 \ theta [/ math] no se puede integrar con [math] dx, [/ math] por lo que determinamos el valor de [math] dx. [/ Math]

Al diferenciar ambos lados de

[matemáticas] x = 3 \; tan \ theta, [/ math]

obtenemos :

[matemáticas] dx = 3 segundos ^ 2 \ theta d \ theta [/ matemáticas]

Ahora haz la sustitución.

[matemáticas] dx = 3 segundos ^ 2 \ theta \, d \ theta [/ matemáticas]

y

[matemáticas] (x ^ 2 + 9) ^ {\ frac {3} {2}} = 27 segundos ^ 3 \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] \ int \ frac {dx} {(x ^ 2 + 9) ^ {\ frac {3} {2}}} = \ int \ frac {3sec ^ 2 \ theta d \ theta} {27sec ^ 3 \ theta} = \ frac {1} {9} \ int \ frac {d \ theta} {sec \ theta} [/ math]

Aquí, [math] (\ frac {1} {sec \ theta}) [/ math] es la identidad de [math] cos \ theta, [/ math] para que podamos escribir [math] (\ frac {d \ theta } {sec \ theta}) [/ math] como [math] (cos \ theta d \ theta) [/ math]

[matemáticas] \ frac {1} {9} \ int \ frac {d \ theta} {sec \ theta} = \ frac {1} {9} \ int cos \ theta d \ theta [/ math]

Integrar la integral resultante,

[matemáticas] \ frac {1} {9} \ int cos \ theta d \ theta = \ frac {1} {9} sin \ theta + c [/ matemáticas]

Pero, nuestra respuesta no es en términos de [matemáticas] x [/ matemáticas].

Asumimos

[matemáticas] x = 3 \; tan \ theta [/ math]

Pero aquí, tenemos [matemáticas] sin \ theta. [/ Matemáticas]

Entonces, encontramos el valor de [math] sin \ theta [/ math] dibujando un triángulo rectángulo.

[matemáticas] x = 3 \; tan \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] tan \ theta = \ frac {x} {3} [/ matemáticas]

[matemáticas] {tan \ theta = \ frac {Perpendicular} {Base}} [/ matemáticas]

Al usar el teorema de Pitágoras, tenemos:

[matemáticas] (Hipotenusa) ^ 2 = Perpendicular ^ 2 + Base ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Rightarrow (hipotenusa) ^ 2 = x ^ 2 + 3 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] \ Hipotenusa de la flecha derecha = \ sqrt {x ^ 2 + 9} [/ matemática]

Desde el triángulo en ángulo recto anterior, podemos encontrar el valor de [math] sin \ theta. [/ Math]

[matemáticas] Sin \ theta = \ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + 9}} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \ {\ porque \; \; {sin \ theta = \ frac {Perpendicular} {Hipotenuse}} \} [/ math]

Ahora, poniendo el valor de [math] sin \ theta, [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {9} sin \ theta + c = \ frac {1} {9} (\ frac {x} {\ sqrt {x ^ 2 + 9}}) + c = \ frac { x} {9 \ sqrt {x ^ 2 + 9}} + c [/ matemáticas]

Algunas sustituciones estándar son:

[matemáticas] (i) \; \; \ sqrt {a ^ 2 – x ^ 2} \; \ rightarrow [/ math] poner [math] x = a \, sin \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ sqrt {a ^ 2 – a ^ 2 sin ^ 2 \ theta} = \ sqrt {a ^ 2 (1-sin ^ 2 \ theta)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {a ^ 2 cos ^ 2 \ theta} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ {\ because \; \; 1 – sin ^ 2 \ theta = cos ^ 2 \ theta \} [/ math]

Ahora, obtenemos un cuadrado perfecto bajo el signo radical,

es decir, [matemáticas] a \, cos \ theta [/ matemáticas]

Que es fácil de integrar

Similar,

[matemáticas] (ii) \; \; \ sqrt {x ^ 2 + a ^ 2} \; \ rightarrow [/ math] poner [math] x = a \, tan \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ sqrt {a ^ 2 tan ^ 2 \ theta + a ^ 2} = \ sqrt {a ^ 2 (tan ^ 2 \ theta + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {a ^ 2sec ^ 2 \ theta} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ {\ because \; \; tan ^ 2 \ theta + 1 = sec ^ 2 \ theta \} [/ math]

[matemáticas] = a \, sec \ theta [/ matemáticas]

[matemáticas] (iii) \; \; \ sqrt {x ^ 2 – a ^ 2} \; \ rightarrow [/ math] poner [math] x = a \, sec \ theta [/ math]

[matemáticas] = \ sqrt {a ^ 2seg ^ 2 \ theta – a ^ 2} = \ sqrt {a ^ 2 (sec ^ 2 \ theta – 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {a ^ 2 tan ^ 2 \ theta} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ {\ because \; \; sec ^ 2 \ theta – 1 = tan ^ 2 \ theta \} [/ math]

[matemáticas] = a \, tan \ theta [/ matemáticas]