¿Cuáles son algunos hechos matemáticos realmente extraños?

Answer 1

La paradoja de Banach-Tarski es bastante extraña.

Desde la página de Wikipedia vinculada:

La paradoja de Banach-Tarski es un teorema en geometría teórica de conjuntos, que establece lo siguiente: Dada una bola sólida en un espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito de subconjuntos disjuntos, que luego se pueden volver a colocar juntos de una manera diferente para producir dos copias idénticas de la bola original. De hecho, el proceso de reensamblaje implica solo mover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma.

La reconstrucción se puede realizar con tan solo cinco piezas y, lo que es más importante, depende de The Axiom of Choice. El Axioma de Elección es bien conocido por implicar muchos resultados extraños.

Answer 2

Teorema de Pick:

Sorprendentemente, el área de cualquier polígono reticular P, es decir, un polígono cuyas esquinas tienen coordenadas enteras, se puede calcular EXACTAMENTE mediante la fórmula:

[matemáticas] I (P) + B (P) / 2–1 [/ matemáticas]

donde [matemáticas] I (P) [/ matemáticas] es el número de puntos de la red dentro del polígono y [matemáticas] B (P) [/ matemáticas] es el número de puntos de la red en el límite.

Ejemplo 1 : El área del cuadrado de la unidad con esquinas (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). [matemática] I (P) [/ matemática] es 0 ya que no hay puntos de coordenadas dentro. [matemática] B (P) [/ matemática] es 4, uno para cada esquina. Entonces [matemáticas] I (P) + B (P) / 2–1 = 0 + (4/2) –1 = 1 [/ matemáticas] ¡lo que funciona!

Ejemplo 2 : El área del polígono en la figura es [matemática] 5+ (9/2) -1 = 8.5 [/ matemática].

Como consecuencia, cada polígono reticular, que puede tener n lados de longitud irracional, tiene un área que es múltiplo de 1/2.

Además, es imposible dibujar un triángulo equilátero con coordenadas enteras. El área de un equilátero es [matemática] A = \ frac {\ sqrt {3}} {4} e ^ 2 [/ matemática] donde [matemática] e [/ matemática] es la longitud del lado. El lado es la hipotenusa de algún triángulo rectángulo, por lo que [math] e ^ 2 [/ math] es un número entero, por lo que el área siempre es irracional.

Answer 3

La paradoja de Banach-Tarski es el peor delincuente en mi mente.

Paradoja de Banach-Tarski

Aunque su estado como una verdadera “paradoja” es dudoso, ya que es principalmente un reflejo de cómo debemos definir cuidadosamente la noción de medida.

Answer 4

Gusano de Moser: no tenemos idea de cuál es la respuesta a un problema de geometría posiblemente “fácil”.

El gusano de Moser es un pequeño demonio complicado. Básicamente, encuentre una forma que pueda contener cada curva de longitud 1 (un “gusano”) con la menor cantidad de área posible. Hay un par de simples: un círculo con diámetro 1 funciona, pero hay mucho “potencial” desperdiciado en [matemáticas] \ dfrac {\ pi} {4} = 0.785 … un ^ 2. [/ Matemáticas]

Otro límite legítimo es un rombo con longitud diagonal larga 1 y ángulos de 60 y 120 grados. El área para esta forma nos da una mejor [matemática] \ dfrac {1} {2 \ sqrt {3}} = 0.29 …, [/ matemática] pero aún podemos mejorar un poco.

Wikipedia dice que está entre 0.271 y 0.232, pero eso es todo. Siento que, al igual que la conjetura de Collatz, simplemente no tenemos las matemáticas para resolver este problema. Parece engañosamente simple, pero cuando se trata de tachuelas, no tenemos otra pista que los programas de computadora.

La página de Wikipedia para esto es el problema del gusano de Moser: Wikipedia, y le falta muchísimo. Si quieres hacerte un nombre, resuelve este problema. Han pasado décadas.

Answer 5

Soy un gran admirador de los extraños hechos matemáticos, especialmente aquellos que tienen aplicaciones de la vida real. La Ley de Zipf es una de esas. La Ley de Benford puede ser un caso especial de la Ley de Zipf. Wikipedia tiene una muy buena explicación de ambos. “Muchos tipos de datos estudiados en las ciencias físicas y sociales se pueden aproximar con una distribución Zipfian, una de una familia de distribuciones de probabilidad de la ley de poder discreta relacionada”. Por ejemplo, en el idioma inglés, la ley de Zipf dice que la frecuencia de cualquier palabra es inversamente proporcional a su rango en la tabla de frecuencias. La palabra “el” es la palabra más utilizada en inglés; representa aproximadamente el 7% de todas las palabras utilizadas. La segunda palabra más común, “de”, tiene la mitad de la probabilidad de ocurrencia como la primera palabra más frecuente, o aproximadamente 3.5%. La tercera palabra más común aparece 1/3 tan frecuentemente como la palabra más común, etc. Se ha demostrado que la Ley de Zipf se aplica a otras clasificaciones que no están relacionadas con el idioma, como rangos de población de ciudades, clasificaciones de ingresos, etc.

Si define:

• N = número de elementos;
• k = su rango;
• s = el valor del exponente que caracteriza la distribución.

La Ley de Benford es la ley que muestra que el dígito principal de un número en un conjunto de datos de origen natural tiende a ser un número pequeño. Por ejemplo, el número 1 aparece con mayor frecuencia como el primer dígito, y el número 9 aparece con menos frecuencia como el primer dígito. Si aplicara una distribución de probabilidad uniforme (cada dígito tiene una probabilidad igual, como los números en los lados de un dado), cada uno de los dígitos del 1 al 9 aparecería el 11.11% del tiempo.

Ley de Zipf – Wikipedia

Answer 6

Nunca olvidaré a mi profesor trabajando a través de la fórmula de Euler en la pizarra para eventualmente llevarnos a la Identidad de Euler ( eiπ + 1 = 0). Me golpeó como un ladrillo: una fórmula que relaciona muchos conceptos matemáticos aparentemente dispares en una concisa y hermosa igualdad.

Hay innumerables citas de admiración sobre la identidad de Euler. Entre ellos:

“Es simple de ver y, sin embargo, increíblemente profundo, comprende las cinco constantes matemáticas más importantes” – Prof David Percy

“Nuestra joya … la fórmula más notable en matemáticas” – Físico Richard Feynman

“Caballeros, eso es cierto, es absolutamente paradójico; no podemos entenderlo y no sabemos lo que significa. Pero lo hemos probado y, por lo tanto, sabemos que es la verdad. ”- Benjamin Peirce

“” ¿Qué podría ser más místico que un número imaginario que interactúa con números reales para no producir nada? ” La ecuación contiene nueve conceptos básicos de matemáticas, una vez y solo una vez, en una sola expresión. Estos son: e (la base de los logaritmos naturales); la operación exponente; π; más (o menos, dependiendo de cómo lo escriba); multiplicación; números imaginarios; es igual uno; y cero “- Robert P. Crease, en” Las mejores ecuaciones de la historia “en PhysicsWeb (octubre de 2004)

… y así sucesivamente..

La identidad de Euler – Wikipedia

Answer 7

En un espacio ultramétrico, cualquier punto de una pelota también es el centro de esa pelota. Sí, una pelota puede tener infinitos centros.

Los espacios ultramétricos son bastante extraños en general. Espacio ultramétrico – Wikipedia

Answer 8

Bueno, antes de eso me gustaría hacer una pregunta.

¿Cuál según usted es la respuesta a la vida del universo y todo?

Es posible que desee buscar en Google esto para obtener algunas respuestas realmente intelectuales … así que adelante y búsquelo en Google

Bien, y si no lo hiciste porque eres demasiado vago, aquí está la respuesta:

= 42

Enloquecido bien !!

El número 42 es, en The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy de Douglas Adams, la “Respuesta a la última pregunta sobre la vida, el universo y todo”, calculada por una enorme supercomputadora llamada Pensamiento profundo durante un período de 7,5 millones de años.

No confíes en mí … ve a google por ti mismo.

SALUD

ABHINAV

Answer 9

Creo que hay un hecho matemático bastante simple, que puede ser entendido por un laico, pero es un hecho increíblemente poderoso. El hecho de que no hay solo un infinito en Matemáticas, sino más bien infinitos órdenes de infinito. Puede tomar el conjunto de números naturales ([matemáticas] N [/ matemáticas]) y, por supuesto, son infinitos. Pero los números reales ([matemáticas] R [/ matemáticas]) son mucho más que esos. Los números reales no pueden ser numerados (contados con naturales), y hay una prueba muy inteligente de esto; entonces [matemática] R [/ matemática] es de un tipo más alto de infinito que los naturales. La cantidad de naturales existentes se llama [math] \ aleph_0 [/ math] (Aleph-0), mientras que la cantidad de números reales se llama [math] \ aleph_1 [/ math].

Ahora observe los conjuntos de reales, de cada cardenal (o número de elementos) que pueda pensar. Por ejemplo, [math] \ {0 \} [/ math], [math] \ {- 1 \} [/ math], [math] \ {3.1416 \} [/ math] son ​​algunos conjuntos con un solo elemento real. Ahora agregue aquellos con dos elementos; ahora, aquellos con tres, etc. Tómelos todos. El número de todos estos conjuntos (el conjunto de subconjuntos de [math] R [/ math]) es nuevamente un orden de infinito mayor que [math] R [/ math] (llamado [math] \ aleph_2 [/ math]). Lo mismo ocurre con el número de subconjuntos del conjunto de subconjuntos de [math] R [/ math] (llamado [math] \ aleph_3 [/ math]), que es mayor que [math] \ aleph_2 [/ math], y pronto. Entonces tenemos órdenes infinitas de infinito.

Answer 10

La altitud a la hipotenusa en cualquier triángulo rectángulo ABC es h.

1. Construya el triángulo rectángulo A ‘B’ C ‘con la misma altitud que la hipotenusa h, como en ABC, y un ángulo agudo igual a 1/2 ángulo B en ABC .
2. Construya el triángulo rectángulo A “B” C “ con la misma altitud que la hipotenusa h , como en ABC , y un ángulo agudo igual a 1/2 ángulo C en ABC ..

La hipotenusa en A ‘B’ C ‘(# 1) será dos veces la pata ” c” en ABC , y la hipotenusa en A “B” C “(# 2) será dos veces la pata” b “en ABC.

• Por ejemplo, deje que ABC sea el triángulo 3 4 5.
• La hipotenusa en A ‘B’ C ‘ será 6.00 , o 2 x 3.
• La hipotenusa en A ” B ” C ” será 8.00 , o 2 x 4.

Answer 11

Me gustan las torres de Hanoi. Torre de Hanoi – Wikipedia

Comience con 3 polos y un conjunto de discos de diferentes diámetros, cada uno con un orificio en el medio para que los discos se puedan colocar en los polos, con la restricción de que un disco nunca pueda colocarse encima de otro disco de menor diámetro, y comenzando con todos los discos colocados en un solo poste. Luego, mientras obedece siempre esta restricción, mueva los discos para que todos se muevan a otro poste. El número de movimientos termina siendo (2 ^ N – 1) donde N es el número de discos. La leyenda dice que cuando se creó el mundo, 3 monjes tuvieron la tarea de mover un conjunto de 64 discos de un polo a otro, después de lo cual el mundo terminaría. ¡Baste decir que para 64, este es un gran número de movimientos astronómicamente!

Answer 12

Esta función aparentemente simple que apareció en mi mente cuando estaba en la escuela secundaria:
y = (-1) ^ x

Intentar graficarlo a mano era imposible para mí en ese momento. Años después se me mostró que esta función es una hélice tridimensional (dos reales, una imaginaria). Su proyección en el plano xy es una función coseno y la proyección en el plano yi es un círculo.

Para hacerlo aún más extraño, tenga y = (-2) ^ x, que es una hélice con un ancho creciente, una espiral en la proyección yi y un coseno con una amplitud creciente en la proyección xy .

Answer 13

Se sabe por distintos positivos irracionales [matemática] \ alpha, \ beta [/ matemática] que si [matemática] 1 / \ alpha + 1 / \ beta = 1 [/ matemática], entonces las secuencias [matemática] \ lfloor n \ alpha \ rfloor, \ lfloor n \ beta \ rfloor [/ math] para [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] son ​​disjuntos y constituyen todos [math] \ mathbb {N} [/ math] . En otras palabras, cualquier número entero positivo [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math] puede escribirse como [math] \ lfloor k \ alpha \ rfloor [/ math] o [math] \ lfloor k \ beta \ rfloor [/ math] para algún número entero positivo [math] k [/ math].

La prueba de esto es un poco difícil, aunque solo requiere medios elementales. Sin embargo, este es un hecho sorprendente (al menos para mí).

Answer 14

Este es un hecho del que escuché cuando era niño y dije “¡eso es una locura!”, Fue solo después de muchos años que pude comprender su verdadero significado.

Supongamos que tiene una estantería, en la que tiene la intención de organizar 15 libros diferentes, en todo orden posible, bastante fácil, ¿verdad? Quiero decir que solo tienes que recogerlos y ponerlos allí.

¿Cuánto crees que tomarías para hacer esto? ¿Una semana? ¿Un mes como máximo?

¡Ahora qué pasa si te digo que te llevaría 41352 AÑOS, suponiendo que hiciste cada arreglo en 1 segundo! (Lo cual es una gran suposición)

La respuesta está en la permutación. ¡El número de arreglos de 15 objetos distintos es 15! (= 1.3076744e + 12) dividiendo este número enorme por 3600 * 24 * 265 obtenemos el resultado.

Bastante indignante, ¿verdad?

Answer 15

No estoy seguro de lo que quieres decir con “conceptos básicos”, pero aquí hay algunas cosas.

Muchas cosas sobre conjuntos infinitos pueden ser “extrañas” para los no iniciados, ya que los resultados son bastante contrarios a nuestra intuición. Por ejemplo, hay exactamente tantos números pares como enteros. Y hay tantos números reales entre 0 y 1 como números reales en total.

Además, [matemáticas] i ^ i [/ matemáticas] es un número real.

Answer 16

Un montón de extrañas cosas paradójicas para mirar en fractales. Desde el polvo de Cantor y la escalera del mal hasta la evaluación de la opacidad del rayo dependiendo de los ángulos de visión a través de una esponja Menger.

En señal, tratando de encontrar cuál sería una verdadera comprensión del ruido blanco como señal (o viceversa, entendiendo por qué y cómo apesta toda realización).

En teoría de números, todas las consideraciones sobre la dificultad de construir ejemplos de tipos de números a pesar de que son las más frecuentes entre los reales (comenzando con los irracionales).

etc.

Answer 17

El libro “Contraejemplos en análisis” de Gelbaum y Olmsted consta de una serie de afirmaciones que parecen ser teoremas, pero no lo son ya que hay contraejemplos.

Answer 18

Llamamos a un número natural (entero positivo) n nivenmórfico (en base 10) si puede encontrar otro número natural N que satisfaga lo siguiente:

• N es un múltiplo de n, es decir, N = k * n para alguna k natural.
• Los dígitos finales de N son los dígitos de n.
• La suma de los dígitos de N es n.

Las dos últimas condiciones son las razones por las que especificamos la base.

Eso puede ser confuso, así que aquí hay algunos ejemplos concretos:

• Si n es un número de un solo dígito, entonces n = N funcionará. Por ejemplo, si n = 9, entonces con N = 9 tenemos que 9 es un múltiplo de 9, 9 termina en el dígito 9, la suma de los dígitos de 9 es 9. Las tres condiciones se siguen de forma bastante vacía.
• si n = 10 entonces N = 910 funcionará. 910 es un múltiplo de 10, 910 termina en los dígitos 10 y 9 + 1 + 0 = 10. No hay necesariamente una opción única para N, por ejemplo, en este caso 8110 también funcionaría, como 33310.
• Si n = 18, N = 16218 hará el truco, verifíquelo usted mismo.

Aquí está lo extraño, Boscaro demostró que en la base 10, cada entero positivo es nivenmórfico … ¡excepto 11!

Answer 19

Esto me sorprendió cuando me enteré: la suma de cubos de 1 a n es igual al cuadrado de la suma de 1 a n:

1 ^ 3 = 1 ^ 2 = 1

1 ^ 3 + 2 ^ 3 = (1 + 2) ^ 2 = 9

1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 = (1 + 2 + 3) ^ 2 = 36

1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 = (1 + 2 + 3 + 4) ^ 2 = 100

1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + 5 ^ 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ^ 2 = 225

1 ^ 3 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 + 4 ^ 3 + 5 ^ 3 + 6 ^ 3 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ^ 2 = 441

Etc.

Answer 20

Bueno, si estás suscrito a Numberphile, esto probablemente no te sorprenderá, pero uno de los conceptos más interesantes que vi en su canal fue el de los dados no transitivos y creo que es un gran ejemplo de no transitividad de ciertas probabilidades.