¿Cuál es el nombre del conjunto obtenido por la multiplicación puntual de un conjunto finito de funciones?

Answer 1

Un monoide [matemático] S [/ matemático] es un conjunto junto con una operación binaria asociativa que tiene un elemento de identidad (ver Wikipedia para las definiciones relevantes). Si [math] X [/ math] es cualquier conjunto y [math] S [/ math] es cualquier monoide, entonces el conjunto de funciones [math] \ phi: X \ to S [/ math] se convierte en un monoide bajo multiplicación puntual en [matemáticas] S [/ matemáticas]. Ahora, si [math] \ phi_1, \ ldots, \ phi_N [/ math] son ​​funciones [math] N [/ math] diferentes, el conjunto que describe es el submonoide generado por [math] \ phi_1, \ ldots, \ phi_N [ / math]: estamos tomando el cierre del conjunto [math] \ {\ phi_1, \ ldots, \ phi_N \} [/ math] bajo la operación de multiplicación puntual.

En su ejemplo, supongo que las funciones son funciones de valor real [math] \ phi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} [/ math] o algo similar. En este caso, el conjunto [math] X [/ math] sería simplemente [math] \ mathbb {R} [/ math], y el monoide [math] S [/ math] serían los números reales bajo multiplicación.

Sin embargo, la mayoría de las veces también es importante poder agregar las funciones que usted describe mediante la suma puntual, y quizás también multiplicarlas por escalares. En caso de que [matemática] R [/ matemática] sea un anillo (como los enteros o los números reales), el conjunto de todas las funciones [matemática] X \ a R [/ matemática] forma un álgebra bajo la suma puntual, la multiplicación puntual y multiplicación escalar, y el conjunto generado bajo estas operaciones por una colección de funciones se llamaría subálgebra que generan.

Answer 2

El conjunto también se llama monomios homogéneos de grado [matemático] n [/ matemático] en [matemático] \ phi_i (x) [/ matemático]. Donde [matemáticas] n = 0,1, \ ldots, k [/ matemáticas]