[Descargo de responsabilidad: asegúrese de distinguir entre la variable aleatoria y su distribución. La respuesta varía]
Usted preguntó “¿Puedo promediar las funciones originales y preservar todas las características de la función resultante?”
No puede promediar las funciones originales y obtener la misma distribución que la obtenida con la mezcla previa de bernoulli.
Caso I
Dadas dos variables aleatorias [matemáticas] f, g [/ matemáticas] combinadas para producir [matemáticas] h = fb + g (1-b) [/ matemáticas], donde [matemáticas] b \ in \ {0,1 \} [ / math] es una variable aleatoria de Bernoulli con probabilidad 1/2
- ¿Cuáles son las mejores funciones en Bloomberg?
- ¿Cuál es la diferencia entre una función de densidad de probabilidad y una función de distribución acumulativa?
- Explica por qué, sin restricciones en su dominio, ninguna función trigonométrica tiene una función inversa.
- ¿Cómo se ve la gráfica de [matemáticas] f (x) = (-1) ^ x [/ matemáticas] y por qué?
- Criptografía: si f (x) es una función unidireccional, ¿f ‘(x) se define como f (x) con algunos bits eliminados aún unidireccionales?
Es cierto que la media de la densidad [matemáticas] h (x) [/ matemáticas] es igual a la media de las medias de las densidades de f y g, es decir
[matemáticas] E [h (x)] = \ frac {1} {2} [E [f (x)] + E [g (x)]] [/ matemáticas]
La distribución de [matemáticas] h (x) [/ matemáticas] se encuentra considerando
[matemáticas] H (t) = [/ matemáticas]
[matemáticas] Pr (f (x) \ le t | b = 1) = F (t) \ text {if} b = 1 [/ math]
[matemáticas] Pr (g (x) \ le t | b = 0) = G (t) \ text {if} b = 0 [/ math]
Al tomar la derivada de [matemáticas] H (t) [/ matemáticas] se obtiene
[matemáticas] h (x) = \ frac {1} {2} (f (x) + g (x)) [/ matemáticas]
Caso II
Sin embargo, la distribución de la variable aleatoria [math] \ hat {h} [/ math] formada promediando dos variables aleatorias [math] \ frac {1} {2} (f + g) [/ math] es la convolución de las dos densidades
[matemáticas] \ hat {H} (t) = Pr (f (x) + g (x) \ le 2t) [/ matemáticas]
[matemáticas] = Pr (f (x) \ le 2t – g (x)) [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ int _ {\ infty} ^ {\ infty} F (2t- \ tau) g (\ tau) d \ tau [/ math]
[matemáticas] \ hat {h} (t) = \ int _ {\ infty} ^ {\ infty} 2f (2t- \ tau) g (\ tau) d \ tau [/ math]
Nota: estoy usando la notación convencional de que las letras mayúsculas se refieren al cdf y las letras pequeñas se refieren al pdf
Si tiene dos densidades fijas f y g que elige entre una mezcla de bernoulli anterior como en [math] h [/ math], la densidad resultante no es la misma que la de sumar dos variables aleatorias como en [math] \ hat { h} [/ matemáticas]. En el primer caso, la densidad en x se elige aleatoriamente entre los valores de f y g, mientras que en el segundo siempre se resumen los valores.