La integral de Riemann funciona según el principio de dividir un intervalo en particiones (intervalos). Incluso si una función es discontinua, siempre que pueda dividir la función en ‘partes’ continuas (tales funciones se denominan continuas por partes), puede realizar la integración de Riemann en la función.
Sin embargo, algunas funciones no se pueden dividir en particiones. Un buen ejemplo es la función Dirichlet , donde hay un número infinito de discontinuidades en un intervalo. Dividir la función en intervalos, no produce una sola pieza continua.
En tales casos, necesita una forma más general (que un intervalo) de dividir la función, llamada ‘medida’ . Una medida es una generalización de la longitud de un intervalo. Ahí es donde entra en juego la integración de Lebesgue. La medida de Lebesgue intenta dividir la función en conjuntos , en lugar de intervalos. Esto amplía enormemente la clase de funciones a las que se puede aplicar la integración.
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