¿Se puede resolver cualquier función en términos de cualquier variable?

La pregunta básica aquí es:

Dada una ecuación

[matemáticas] f (x, y) = 0, [/ matemáticas]

donde [math] f [/ math] es alguna función de [math] x [/ math] y [math] y [/ math], ¿cuándo define el requisito [math] f = 0 [/ math] y [math] y [/ math] en función de [math] x [/ math]? (Análogamente, ¿cuándo describe [matemáticas] x [/ matemáticas] como una función de [matemáticas] y [/ matemáticas]?)

En otras palabras, ¿cuándo existe alguna función [matemática] g (x) [/ matemática] tal que [matemática] f (x, g (x)) = 0 [/ matemática] se cumple para todos [matemática] x [/ matemáticas]? Y, tal vez incluso mejor, ¿podemos encontrar una función tal que [matemáticas] f (x, y) = 0 [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] y = g (x) [/ matemáticas]?

Un par de ejemplos rápidos muestran que esto es demasiado esperar en general. Por ejemplo, si miramos la ecuación

[matemáticas] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemáticas]

entonces [math] x [/ math] no se puede escribir en función de [math] y [/ math], y por el contrario [math] y [/ math] no se puede escribir en función de [math] x [/ math] . Para la mayoría de las opciones de la variable [math] x [/ math], hay dos valores admisibles de [math] y [/ math]: ambas soluciones

[matemáticas] y = \ pm \ sqrt {1-x ^ 2} [/ matemáticas]

dar puntos en el círculo unitario.



Esencialmente, lo que estamos pidiendo es una forma de parametrizar la variable [math] y [/ math] de puntos en el conjunto de soluciones [math] f (x, y) = 0 [/ math] por una función [math] g ( x) [/ matemáticas]. Lo que muestra el ejemplo anterior es que es demasiado esperar que posiblemente podamos parametrizar globalmente la solución establecida por una sola función de esta manera.

Sin embargo, lo que a menudo podemos hacer es parametrizar localmente el conjunto de soluciones. Lo que esto significa es lo siguiente. Digamos que tenemos algún punto [math] (x_0, y_0) [/ math] en el conjunto de soluciones [math] f = 0 [/ math]. Quiero saber si para los números [math] x [/ math] “close” to [math] x_0 [/ math] puedo escribir las coordenadas [math] y [/ math] del conjunto de soluciones en función de [ matemáticas] x [/ matemáticas].

Un ejemplo está en orden. Para el círculo unitario, considere el punto [matemáticas] (0,1) [/ matemáticas] en el círculo. Entonces, si [matemática] x [/ matemática] permanece cerca de [matemática] 0 [/ matemática], sé que la coordenada [matemática] y [/ matemática] de los puntos cercanos en el círculo unitario parece

[matemáticas] y = \ sqrt {1-x ^ 2} [/ matemáticas].

Pero, ¿y si hubiera comenzado en el punto [matemáticas] (1,0) [/ matemáticas]? Cerca de este punto, no puedo escribir [matemáticas] y [/ matemáticas] como una función bien definida de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Para cerca de [math] x [/ math], las soluciones positivas y negativas para [math] y [/ math] también están cerca. El problema es que la línea tangente al círculo en este punto es vertical.

Este fenómeno es completamente general. El teorema de la función implícita dice que si [math] f (x, y) [/ math] es una función de dos variables y [math] (x_0, y_0) [/ math] es un punto en [math] f = 0 [ / math], entonces podemos escribir [math] y [/ math] en función de [math] x [/ math] cercano [math] x_0 [/ math] precisamente si [math] f = 0 [/ math] tiene una línea tangente no vertical en [math] (x_0, y_0) [/ math]. Esta hipótesis es equivalente a requerir que

[matemática] \ frac {\ parcial f} {\ parcial y} (x_0, y_0) \ neq 0 [/ matemática],

por lo tanto, es fácil probar cuándo es posible escribir [matemática] y [/ matemática] en función de [matemática] x [/ matemática] localmente.

En realidad, escribir la función local [math] g (x) [/ math] es algo completamente diferente. Excepto en circunstancias muy especiales, es completamente inútil expresar [matemáticas] g (x) [/ matemáticas] en términos de funciones elementales: existen muchos “teoremas de imposibilidad” en esta dirección, como la imposibilidad de la solución de lo general polinomio quintico en términos de radicales como lo señala otra respuesta. Pero esto no tiene relevancia para determinar si es posible o no expresar localmente las soluciones en función de [math] y [/ math].

Créditos de imagen: Funciones implícitas

No. A principios del siglo XIX, Evariste Galois y Niels Abel demostraron que existen ecuaciones polinómicas específicas que no tienen solución “por radicales”, es decir, utilizando operaciones aritméticas elementales y tomando raíces. Una de estas ecuaciones es [matemáticas] x ^ 5-6x + 3 = 0 [/ matemáticas]. Vea la teoría y la página de Galois en kenyon.edu.

No todas las funciones pueden resolverse explícitamente en términos de otras variables. Dichas funciones se denominan funciones trascendentales. Echa un vistazo a esta página de wikipedia: función trascendental