Suponga que [matemática] f [/ matemática] y [matemática] g [/ matemática] son continuas en [matemática] x = c [/ matemática]. Entonces sabemos por la definición de continuidad que
[matemáticas] f (c) = \ lim_ {x \ to c} f (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] g (c) = \ lim_ {x \ to c} g (x) [/ matemáticas]
Luego, por la regla del producto para los límites:
[matemáticas] f (c) g (c) = \ lim_ {x \ to c} f (x) \ cdot g (x) [/ matemáticas]
- ¿Cuál es la cardinalidad del espacio de todas las funciones continuas?
- ¿Cuáles son algunas funciones estrictamente crecientes que aumentan más que las funciones exponenciales? ¿Puedo referir x = 0 como una función estrictamente creciente?
- ¿Cuál es la diferencia entre un operador y una función?
- ¿Cómo se integra [math] \ csc ^ 4 (3x) \ cot ^ 3 (3x) [/ math]?
- Si X e Y se distribuyen uniformemente en cualquier intervalo (a, b), entonces cualquier variable Z definida como Z = X / Y, ¿se distribuirá uniformemente o no en ningún intervalo?
que te da el resultado deseado.
Prueba de la regla del producto para límites:
Deje [math] \ lim_ {x \ to c} f (x) = L [/ math] y [math] \ lim_ {x \ to c} g (x) = M [/ math]. Luego, según la definición del límite, para cualquier [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática], podemos encontrar [matemática] \ delta_1, \ delta_2 [/ matemática] tal que:
[matemáticas] 0 <| xc | <\ delta_1 \ Rightarrow 0 <| f (x) -L | <\ epsilon [/ matemáticas]
[matemáticas] 0 <| xc | <\ delta_2 \ Rightarrow 0 <| g (x) -M | <\ epsilon [/ matemáticas]
En particular, podemos elegir [math] \ delta_1, \ delta_2 [/ math] de modo que:
[matemáticas] 0 <| xc | <\ delta_1 \ Rightarrow 0 <| f (x) -L | <[/ matemáticas]
[matemáticas] \ min \ left (1, \ frac {\ epsilon} {2 | M | +1} \ right) [/ math]
[matemáticas] 0 <| xc | <\ delta_2 \ Rightarrow 0 <| g (x) -M | <\ frac {\ epsilon} {2 | L | +1} [/ matemática]
Elija [math] \ delta = \ min (\ delta_1, \ delta_2) [/ math], y tenga en cuenta que desde [math] \ delta <1 [/ math], para [math] 0 <| xc | <\ delta [ /matemáticas]:
[matemáticas] | f (x) | – | L | \ leq | f (x) -L | <1 [/ matemáticas]
[matemáticas] | f (x) | <1+ | L | [/ matemáticas]
Entonces se deduce que:
[matemáticas] | f (x) g (x) -LM | [/ matemáticas]
[matemáticas] = | f (x) (g (x) -M) + M (f (x) -L) | [/ matemáticas]
[matemáticas] \ leq | f (x) || g (x) -M | + | M || f (x) -L) | [/ matemáticas]
[matemáticas] \ leq (1+ | L |) \ cdot \ frac {\ epsilon} {2 | L | +1} + | M | \ frac {\ epsilon} {2 | M | +1} [/ math]
[matemáticas] \ leq \ frac {\ epsilon} {2} + \ frac {\ epsilon} {2} = \ epsilon [/ math]
Esto nos da el resultado deseado.