¿Cuál es la cardinalidad del espacio de todas las funciones continuas?

Answer 1

Asumiré que está preguntando acerca de la cardinalidad del conjunto de funciones continuas desde los números reales hasta los números reales.

Dicha función continua está determinada por sus valores en los números racionales, por lo que no hay más que el número de funciones desde los números racionales hasta los números reales. La cardinalidad de esos es la misma que la cardinalidad de los números reales.

Por lo tanto, la cardinalidad del conjunto de funciones continuas [math] \ mathbb R \ to \ mathbb R [/ math] es la misma que la cardinalidad de [math] \ mathbb R. [/ Math]

Apéndice

Aquí hay un resumen de la aritmética de los cardenales infinitos. Algunos de los resultados a continuación dependen del axioma de elección. Deje que [math] a [/ math] y [math] b [/ math] sean cardenales infinitos con [math] a \ leq b. [/ Math] Entonces

[matemáticas] a + b = ab = b. [/ matemáticas]

El teorema de Cantor dice [matemáticas] b <2 ^ b. [/ Matemáticas]

Además, si [matemática] a <b, [/ matemática] entonces [matemática] 2 ^ b = a ^ b. [/ Matemática]

Para más detalles, vea las notas sobre aritmética cardinal en ksu.edu y la página en colorado.edu

Answer 2

Mi resumen de los primeros tres cardenales transfinitos está en la respuesta de Autymn Castleton a ¿Hay números reales, números complejos y qué otros tipos de números? Si toma funciones como funciones elementales (relaciones de composición finita), entonces su cantidad es [math] \ aleph_2 [/ math]. Además tomo composiciones como funciones especiales (composiciones algebraicamente independientes de índice infinito) de las cuales hay [math] \ aleph_3 [/ math]. Por lo tanto, cualquier relación puede expresarse como una composición de una relación, no creo que [math] \ aleph_4 [/ math] o más allá de lo cual sea mayor que [math] \ aleph_3 [/ math].