Primero, expongamos el reclamo con mayor precisión. Se nos da un número complejo [matemática] c [/ matemática] y estamos considerando la función [matemática] f (z) = z ^ 2 + c [/ matemática]. La órbita de 0 es simplemente la secuencia [matemáticas] 0, f (0), f (f (0)), f (f (f (0))), \ ldots [/ matemáticas] que se pueden definir formalmente de esta manera :
[matemáticas] z_0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] z_ {n + 1} = f (z_n) = z_n ^ 2 + c [/ matemáticas].
Ahora, si sucede que [matemáticas] | z_n | \ leq 2 [/ math] para cada [math] n [/ math] entonces la secuencia es, por definición, limitada. La afirmación es que lo contrario también es cierto: si alguna vez [math] | z_n |> 2 [/ math] entonces la secuencia no está limitada, encontraremos [math] z_n [/ math] s con valores absolutos arbitrariamente grandes.
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Para probar esto, supongamos que hemos encontrado algunas [matemáticas] n [/ matemáticas] para las cuales [matemáticas] | z_n |> 2 [/ matemáticas] y, además, [matemáticas] | z_n |> | c | [/ matemáticas] . Escribamos [math] | z_n | = 2 + r [/ math]. Ahora
[matemáticas] | z_ {n + 1} | = | z_n ^ 2 + c | \ geq | z_n ^ 2 | – | c | [/ math]
(Esta es una forma común de la desigualdad del triángulo). Como [math] | z_n |> | c | [/ math],
[matemáticas] | z_ {n + 1} | \ geq | z_n | ^ 2 – | z_n | = [/ matemáticas]
[matemáticas] | z_n | (| z_n | -1) = | z_n | (1 + r) [/ matemáticas].
Por lo tanto, [math] | z_ {n + 1} | [/ math] también es mayor que 2 y con un margen aún más amplio que [math] | z_n | [/ math], por lo que aplicar la estimación una y otra vez muestra que la secuencia [math] | z_n | [/ math] aumenta más rápido que una serie geométrica y, en particular, no puede ser acotada.
Ahora, si [matemáticas] | c | \ leq 2 [/ math] entonces este argumento muestra que cualquier [math] | z_n | > 2 [/ math] obliga a que la órbita sea ilimitada (ya que la condición adicional [math] | z_n |> c [/ math] ahora es automáticamente verdadera). Sin embargo, si [matemáticas] | c |> 2 [/ matemáticas], entonces es aún más simple: [matemáticas] z_2 = c (c + 1) [/ matemáticas] tiene un valor absoluto que es mayor que 2 y también mayor que eso de [math] c [/ math], por lo que el argumento anterior se aplica a partir de [math] z_2 [/ math] y la secuencia es incondicionalmente ilimitada.
Como puede ver, el argumento hace un uso muy particular del valor “2”. De hecho, si [math] c = -2 [/ math] entonces la órbita de 0 es solo 0, -2, 2, 2, 2, … que está claramente delimitada; en otras palabras, el límite 2 es el mejor posible.