¿Por qué se define [matemática] \ sin \ theta [/ matemática] como [matemática] \ frac {opuesto} {hipotenusa} [/ matemática]?

Answer 1

Esta pregunta se puede separar en dos preguntas.

Una es histórica: ¿por qué esta relación particular se llama seno?

El otro es matemático: ¿por qué esta relación depende solo del ángulo?

El histórico es bastante interesante. Los antiguos griegos no usaban senos sino que usaban acordes.

Hiparco (190-120 a. C.) produjo la primera tabla trigonométrica para su uso en astronomía. Era una tabla de acordes para ángulos en un círculo de gran radio fijo. En el diagrama, el acorde del ángulo AOB es el segmento de línea AB.

Los senos se usaron en la antigua India. El seno del ángulo BAC es BC, la mitad del acorde BE para el doble del ángulo BAE. Todavía se usaba un círculo de gran radio fijo.

Más recientemente (en los últimos cientos de años), hemos tomado un radio de 1 para nuestros círculos en lugar de un radio grande.

Hay una historia interesante sobre cómo se usa la palabra seno para esta cantidad. La palabra sánscrita para acorde medio era jya-ardha, que a veces se acortaba a jiva. Esto se introdujo al árabe como jiba, y se escribió en árabe simplemente con dos consonantes jb, las vocales no se escriben. Más tarde, los traductores latinos seleccionaron la palabra sinus para traducir jb pensando que la palabra era una palabra árabe jaib, que significaba seno, y sinus tenía seno y bahía como dos de sus significados. En inglés, el seno se importó como “seno”. La historia de esta palabra para seno es interesante porque sigue el camino de la trigonometría desde la India, a través del idioma árabe desde Bagdad a través de España, hacia Europa occidental en el idioma latino, y luego a los idiomas modernos. como el inglés y el resto del mundo.

La definición alternativa para el seno de un ángulo agudo es colocar ese ángulo como uno de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, luego llamar a la razón del opuesto sobre la hipotenusa el seno de ese ángulo.

Pero antes de que se pueda hacer esa definición, es necesario saber que esta relación depende solo del ángulo, no del tamaño del triángulo.
Y ese resultado depende de las propiedades de triángulos similares. Si dos triángulos rectángulos tienen uno de los mismos ángulos agudos iguales, entonces son similares. Por ejemplo, los triángulos rectángulos ABC y AB’C ‘tienen el mismo ángulo agudo A. Cuando los triángulos son similares, entonces sus lados son proporcionales, entonces

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {BC} {AB} = \ frac {B’C ‘} {AB’} [/ math]

Por lo tanto, la relación, opp / hyp depende solo del ángulo, por lo que el seno de ese ángulo se puede definir como esa relación.

Answer 2

En un nivel, no tiene nada de profundo: casi todas las relaciones entre opuesto, adyacente e hipotenusa son útiles en un contexto u otro, por lo que se le ha dado un nombre. Seno es solo el nombre de esa combinación particular, que es directamente útil en el caso común de que tengas una hipotenusa y un ángulo y quieras un lado opuesto: solo mira el seno y multiplica.

Es una combinación común debido a la conexión con los círculos, donde si giras un radio para trazar la circunferencia, tienes una hipotenusa de longitud fija con un ángulo que cambia continuamente para que seno y coseno proporcionen las coordenadas vertical y horizontal de la punta.

Lo único que es profundo es el hecho de que la relación es importante en primer lugar. El ángulo está tratando de informarle sobre la relación de dos líneas en un solo punto, y resulta que restringe la longitud de una tercera línea a una distancia.

Pero, de nuevo, ese es en última instancia el punto de un ángulo. Se trata de cómo las líneas se alejan unas de otras lejos de su intersección, y hay un ángulo fijo entre ellas precisamente cuando la distancia entre ellas aumenta de manera lineal (proporcional) a medida que miras más lejos.

Answer 3

La trigonometría tiene funciones que relacionan los ángulos de un triángulo con la longitud de sus lados. Las funciones trigonométricas más familiares son el seno, el coseno y la tangente , cada uno de los cuales se define como la relación de dos lados particulares de un triángulo que contiene un ángulo recto. También se pueden definir como los límites de series infinitas o como soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales, lo que permite su extensión a valores arbitrarios positivos y negativos e incluso a números complejos.

El seno y una función compañera del coseno se ven comúnmente en la física cuando se resuelve un vector en coordenadas cartesianas, y en el modelado de fenómenos de funciones periódicas como el sonido y las ondas de luz, y la posición y velocidad de los osciladores armónicos.

La palabra “seno” proviene de una mala traducción latina del árabe jiba , que es una transcripción de la palabra sánscrita para la mitad del acorde, jya-ardha .

Referencia:
Victor J Katz, Una historia de las matemáticas, p210, barra lateral 6.1.
http://deti-bilingual.com/wp-con …
Ver también la respuesta de David Joyce para más antecedentes históricos.

Answer 4

Si coloca el círculo unitario (radio r = 1) en el centro del sistema de coordenadas Oxy que cada punto P en ese círculo define un ángulo £ que tiene centro en O, una línea de ángulo £ atraviesa ese punto P y la otra línea es x linea.

La coordenada x del punto P se llama cos £ y su coordenada y se llama sin £.

Llamemos a la proyección perpendicular del punto P en la línea x como T. Entonces, si pasa perpendicularmente de P a la línea x, obtendrá T.

Entonces, ahora también podemos construir el triángulo OPT.

| OP | = r = 1, | PT | = sin £, | OT | = cos £.

Ahora puede ver que sin £ \ r = sin £ \ 1 = sin £.

Y ahora, cada triángulo rectángulo, llámelo ABC, con uno de sus ángulos igual a £ es similar al triángulo OPT y, por lo tanto, \ hyoptenuse opuesto de ABC es opuesto \ hypothenuse de OPT que es sen £.

Answer 5

No hay ninguna razón en particular PERSAY, cuando se creó la función era simplemente arbitraria, y se atascó porque se dieron cuenta de que tenía excelentes propiedades matemáticas y era muy útil en trig.