Dada una función continua f, (¿cómo) puede encontrar una función continua distinta de cero g tal que la integral fg de -infi a + infi sea 0?

Answer 1

Una cosa que podría probar en el caso de que [math] f [/ math] sea compatible de forma compacta:

Queremos una [math] g [/ math] continua para que [math] \ int_ \ mathbb {R} fg = 0 [/ math]. Entonces estamos buscando [math] g (-x) [/ math] para que [math] (f * g) (0) = 0 [/ math] donde [math] * [/ math] sea convolución.

Llame a [matemáticas] h (x) = (f * g) (x) [/ matemáticas]. Entonces la transformada de Fourier es [matemática] \ hat {h} (k) = \ hat {f} (k) \ hat {g} (k) [/ math] y desde [math] h (x) [/ math] También será compatible de forma compacta, tiene una serie de Fourier, que nos permite escribir

[matemáticas] h (0) = \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} \ hat {h} (n) = \ sum_ {n \ in \ mathbb {Z}} \ hat {f} (n) \ sombrero {g} (n) = 0. [/ matemáticas]

Entonces solo necesitamos encontrar la secuencia [math] (\ hat {g} (n)) [/ math] para que esto se mantenga. A partir de eso, podemos interpolar con una función [math] \ hat {g} [/ math] sobre [math] \ mathbb {R} [/ math] y luego aplicar la transformación inversa de Fourier para encontrar [math] g (-x) [/matemáticas].

Answer 2

Comience con cualquier función continua g que sea compatible de forma compacta, por ejemplo, g = 1- | x | para x entre -1 y 1, cero en otro lugar, y luego realice una interpolación continua de g a -g de modo que en ningún momento la función de interpolación sea 0 en todas partes. Por ejemplo, si t va de 0 a 1 es el parámetro de interpolación, g_t = 1 – | x | para 1 <| x |

Luego, para algunos t, el resultado de integrar fg_t debe ser cero, ya que la integral del producto cambia de signo entre el principio y el final. No hay condiciones en f, ni siquiera necesita continuidad, la integrabilidad es suficiente.

Answer 3

Si el producto es una función lineal que pasa por el origen, puede funcionar en teoría. Sin embargo, estarías restando infinito de infinito.

Answer 4

No hay condiciones en f, excepto que debe definirse para que la integral tenga sentido. Deje g = 0.