¿Cómo se ve la gráfica de [matemáticas] f (x) = (-1) ^ x [/ matemáticas] y por qué?

Answer 1

En resumen, [math] (- 1) ^ x [/ math] debe interpretarse como [math] e ^ {x \ log (-1)} = e ^ {i \ pi x} [/ math]. Esta es una función compleja, por lo que no se puede representar gráficamente en un gráfico 2D.

(Algunas veces puede graficar el valor absoluto [matemática] | f (x) | [/ matemática] vs. [matemática] x [/ matemática], pero en este caso [matemática] | e ^ {i \ pi x} | [ / math] siempre es igual a 1, por lo que será un gráfico bastante aburrido).

Dibujé la función en 3D y obtuve esta bonita hélice:

Tenga en cuenta que esta es realmente la gráfica de la función vectorial [matemáticas] f (x) = (\ sin {\ pi x}, \ cos {\ pi x}) [/ matemáticas], como las partes reales e imaginarias de [matemáticas ] e ^ {i \ pi x} [/ math] son ​​solo estas funciones trigonométricas. También tenga en cuenta que [math] x [/ math] aquí se supone que es real; Si permitiéramos que tome valores complejos, ¡necesitaríamos un gráfico 4D para trazar la función!

Ver también las respuestas de Barak: Matemáticas elementales.

Answer 2

Hay varias formas de ver la función [matemáticas] f (x) = (- 1) ^ x [/ matemáticas] dependiendo del dominio que elija. Para [matemáticas] x [/ matemáticas] en:

• [math] \ mathbb Z [/ math] – el rango es de dos valores, [math] \ pm1 [/ math], dependiendo de si [math] x [/ math] es par o impar;
• [math] \ mathbb Q [/ math]: no es una función, ya que tiene varios valores según el denominador del número racional, pero los valores múltiples se encuentran en un círculo unitario en [math] \ mathbb C [/ math] ;
• [math] \ mathbb R [/ math] – el rango es una hélice de radio unitario en [math] \ mathbb C [/ math];
• [math] \ mathbb C [/ math]: la función es una rotación de la función exponencial compleja.

En los dos últimos casos, un “gráfico” de la función requiere tres o cuatro dimensiones que deben proyectarse de alguna manera para verse en dos dimensiones. La forma más fácil de ver estas funciones es usar la fórmula de Euler:

[matemáticas] \ exp (ix) = \ cos (x) + i \ sin (x) [/ matemáticas]

y el caso especial para [math] x = \ pi, -1 = \ exp (i \ pi) [/ math]. Por lo tanto:

[matemáticas] f (x) = (- 1) ^ x = \ exp (i \ pi) ^ x = \ exp (i \ pi x) = \ cos (\ pi x) + i \ sin (\ pi x) [/matemáticas]

Para Real [math] x [/ math] WolframAlpha está proyectando las partes Real e Imaginaria del resultado para producir curvas sinusoidales (“estiradas” por un factor de [math] \ pi [/ math]).

Para Complejo [matemáticas] x [/ matemáticas] tenga en cuenta que:

[matemáticas] f (\ frac {x} {i \ pi}) = f (- \ frac {ix} {\ pi}) = \ exp (x) [/ matemáticas]

entonces [math] (- 1) ^ x [/ math] está muy relacionado con la función exponencial compleja. Aquí hay una vista del gráfico tridimensional de la parte real del exponencial complejo:

(Fuente: Archivo: ExponentialAbs real SVG.svg)

Answer 3

En los enteros, [matemática] (- 1) ^ x [/ matemática] se comporta de la siguiente manera: envía enteros pares a [matemática] 1 [/ matemática] y enteros impares a [matemática] -1 [/ matemática].

En los no enteros … bueno, esa es una pregunta más complicada.

El sello distintivo de una función exponencial es que convierte las adiciones en multiplicaciones; es decir, la propiedad [matemáticas] f (x + y + z + …) = f (x) f (y) f (z) … [/ matemáticas].

Cualquiera de estas funciones puede considerarse como la forma [matemática] f (x) = b ^ x [/ matemática], para alguna base [matemática] b [/ matemática]. A menudo, identificamos esta base con el valor [math] f (1) [/ math], que funciona lo suficientemente bien como para definir inequívocamente la exponenciación en algunos contextos.

Pero, de hecho, es posible en muchos contextos que diferentes funciones exponenciales tengan la misma salida en [math] 1 [/ math], ¡mientras que difieren en entradas no enteras!

En particular, aunque no hay funciones exponenciales de reales a reales tales que [math] f (1) = -1 [/ math], hay infinitas funciones exponenciales desde reales a números complejos que lo hacen (e infinitamente muchas más tales funciones de reales a otras cosas).

En ese sentido, [math] (- 1) ^ x [/ math] es ambiguo: no está claro exactamente qué función debe denotar esto; podría ser [matemáticas] e ^ {i \ pi x} [/ matemáticas] o [matemáticas] e ^ {3 i \ pi x} [/ matemáticas] o infinitamente muchas otras cosas [donde [matemáticas] e ^ {kx } [/ math] significa la función exponencial de [math] x [/ math] cuya derivada es [math] k [/ math] multiplicada por sí misma].

Pero probablemente, [math] e ^ {i \ pi x} [/ math] es la forma más común de interpretar [math] (- 1) ^ x [/ math]. Uno puede graficar esto (como una función de números reales a números complejos) en un espacio tridimensional (por ejemplo, con el eje X correspondiente a la entrada, el eje Y correspondiente al componente real de la salida y el eje Z correspondiente a la componente imaginario de la salida), obteniendo una hélice.

Específicamente, esta será una hélice que gira 180 grados en el plano YZ por unidad que caminó por el eje X. Otras opciones de cómo interpretar [matemáticas] (- 1) ^ x [/ matemáticas] como una función exponencial de valor complejo producirá otras hélices, en cada caso girando 180 grados más un múltiplo de 360 ​​grados por unidad caminó por el eje X .

Answer 4

Este script de matlab (enlace a continuación) muestra no solo el gráfico complejo 3D, sino también las proyecciones reales e imaginarias, así como la fase (color) y la magnitud (grosor).

1) La ‘serpiente’ 3D muestra el comportamiento complejo de f (x) sobre x.

2) La proyección del piso muestra la parte real de f (x), proyectada a lo largo del eje imaginario:

3) La proyección derecha muestra la parte imaginaria, proyectada a lo largo del eje real:

4) La proyección posterior muestra el plano complejo (proyectado a lo largo del eje x)

5) La magnitud de f (x) se visualiza en el grosor de la serpiente (aquí uniforme).

6) Finalmente, los colores del arco iris de la piel de jabón agregada reflejan la fase de f (x).

Código Matlab:

soapSnake – comprender funciones complejas – Intercambio de archivos – MATLAB Central

La respuesta de Job Bouwman a ¿Cómo sería la gráfica de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas]?