La probabilidad es una medida de la certeza en la que puede ocurrir un evento. Esta definición se implementa fácilmente cuando se trata con varios eventos distintos. Sin embargo, cuando se examina una variable aleatoria continua, se hace más difícil usar esta definición directamente, porque el término “evento” es algo difícil de alcanzar.
Si queremos definir la probabilidad de un evento en el que la variable aleatoria toma un valor específico , la probabilidad de este evento generalmente será cero, porque hay infinitos valores distintos en cualquier intervalo continuo. Y no es muy útil definir la probabilidad como tener un valor de cero en todas partes.
En su lugar, definimos la probabilidad de eventos en los que la variable aleatoria toma un valor dentro de un intervalo específico . La forma habitual de hacerlo es mediante el uso de una función de distribución acumulativa (CDF) , que se define como la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor menor que algún valor específico [math] x [/ math]. Matemáticamente definimos [matemática] F (x) = P (X <x) [/ matemática], donde [matemática] X [/ matemática] es la variable aleatoria, y [matemática] x [/ matemática] es un número determinista.
CDF es la forma en que se define la probabilidad de una variable aleatoria continua. El problema con esto es que es difícil de usar. Podemos usarlo para calcular la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de cualquier rango específico, pero cuando buscamos propiedades adicionales del rv, como la media y la varianza, el CDF no es suficiente. El CDF solo da probabilidades para eventos compuestos, y para calcular muchas propiedades, necesitamos alguna medida de la probabilidad de los eventos más distintivos que podamos definir. Pero hemos visto antes, que esta probabilidad es cero.
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Sabemos que para rvs discretos, la probabilidad de que ocurra uno de varios eventos distintos es la suma de sus probabilidades. Por ejemplo [matemática] P (X = x_1 o X = x_2) = P (X = x_1) + P (X = x_2) [/ matemática] (si [matemática] x_1 \ ne x_2 [/ matemática]). El equivalente de la suma en el mundo continuo es la integral. Por lo tanto, podemos suponer que el CDF podría ser la integral de alguna función que nos sería útil, por lo que definimos [matemáticas] P (X <x) = F (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {x } f (x ') dx' [/ math]. La función [matemática] f (x) [/ matemática] se llama función de densidad de probabilidad (PDF) , y es muy similar a la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor específico, pero no exactamente. Su valor en cualquier punto dado en realidad no tiene sentido (ya que la verdadera probabilidad de tomar este valor es cero), el PDF siempre se usa dentro de una integral, y cuando se integra, surge el verdadero significado de la medida de probabilidad.