Sigamos con la dimensión 2, donde podemos interpretar los vectores más fácilmente geométricamente.
Uno de los dos puede interpretarse como vectores ordinarios. Aunque los vectores ordinarios pueden interpretarse como un conjunto de flechas en un plano que apuntan todos en la misma dirección y tienen la misma longitud, una interpretación más simple es tomar el vector como un punto en el plano. Para volver la flecha, dibuje la flecha desde el origen hasta el punto.
Entonces, interprete un vector como un punto [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas] en el plano. Por lo general, esto se representa como un vector de columna [matemática] \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} [/ math]. Con esta interpretación, los vectores de columna [math] 2 \ times1 [/ math] son puntos en el plano xy habitual [math] \ mathbf R ^ 2 [/ math].
Entonces, ¿qué es un vector de fila [math] 1 \ times 2 [/ math] como [math] \ begin {bmatrix} a & b \ end {bmatrix} [/ math]? Es una función lineal [math] \ mathbf R ^ 2 \ to \ mathbf R [/ math], en particular, la que envía el vector [math] \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} [/ math] a [math] a [/ math] y envía [math] \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} [/ math] a [math] b [/ math]. Como es lineal, enviará el vector [math] \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} [/ math] a [math] ax + por [/ math]. Como una ecuación
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[matemáticas] \ begin {bmatrix} a & b \ end {bmatrix} \, \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix} = ax + por [/ math]
Por lo tanto, los vectores de fila [math] 1 \ times 2 [/ math] son las funciones lineales [math] \ mathbf R ^ 2 \ to \ mathbf R [/ math]. Ellos mismos forman un espacio vectorial bidimensional, que podríamos denotar [math] \ mathbf R ^ {\ mathbf R ^ 2} [/ math].
Lo interesante es que las funciones lineales en [matemáticas] \ mathbf R ^ {\ mathbf R ^ 2} \ to \ mathbf R [/ math] forman un espacio vectorial, [math] \ mathbf R ^ {\ mathbf R ^ {\ mathbf R ^ 2}} [/ math] y esto es naturalmente isomorfo a [math] \ mathbf R [/ math]. Si transpone una matriz dos veces, recupera su matriz original.