¿Alguien ha intentado crear matemáticas donde el conjunto de enteros es el doble de grande que el conjunto de enteros pares?

Depende de lo que quiera decir con “el doble de grande”, pero el punto es que la forma en que definimos el tamaño es muy canónica y de sentido común, y tiene la consecuencia de que los enteros pares deben ser del mismo tamaño que todos los enteros. Para los matemáticos, la teoría de conjuntos es el campo de estudio que describe los objetos subyacentes en la mayoría de las matemáticas fundamentales antes, por ejemplo, del siglo XX.

Un conjunto es simplemente una colección de objetos distintos (el conjunto de todas las manzanas, el conjunto de todas las personas, el conjunto de todos los átomos, el conjunto de todos los electrones [o cualquier otro fermión realmente], etc.) y consideramos dos conjuntos para ser el mismo si representan la misma cantidad de cosas solo con nombres diferentes. Por ejemplo, el conjunto [math] {1, 2, 3} [/ math] y el conjunto [math] {a, b, c} [/ math] se consideran “lo mismo” que los conjuntos porque ambos consisten en Tres objetos.

Esta noción se codifica formalmente en la noción de una biyección, o una función [math] f [/ math] que toma cosas en el primer conjunto [math] S_1 [/ math] y genera cosas en el segundo conjunto [math] S_2 [/ math] tal que no haya dos entradas que obtengan la misma salida, y cada salida corresponde a alguna entrada (que [math] f [/ math] es una función simplemente codifica la idea de que cada entrada debe tener una y solo una salida definida) . Nuevamente, esta es solo una forma elegante de verificar que dos conjuntos tienen el mismo “tamaño”, tiene versatilidad porque funciona para conjuntos finitos o infinitos. La noción de tamaño es una elección adecuada de lo que es “esencial” acerca de un conjunto porque lo único que hace que dos conjuntos sean diferentes “como conjuntos” es cuántas cosas tienen en ellos. Si le dio más estructura a los conjuntos, es posible que le interesen funciones que tengan más propiedades que las biyecciones, pero las biyecciones son precisamente las funciones entre conjuntos que preservan todas sus cualidades esenciales “como conjuntos”.

En este caso, debemos tener que los enteros tengan el mismo tamaño que los enteros pares porque la biyección [matemática] f (x) = 2x [/ matemática] se correlaciona entre sí. Puede comprobar usted mismo que esto es una biyección.

Puede definir diferentes nociones de “tamaño” si lo desea, pero esto no conducirá a nada contradictorio con nuestras matemáticas tradicionales, solo significará que puede probar cosas nuevas sobre su noción particular de “tamaño”. Puede ser divertido y útil, o no.

Cosa segura.

Definamos, para el subconjunto de enteros [matemática] A [/ matemática], El “tamaño” es [matemática] S (A) = \ lim_ {n \ to \ infty} | A \ cap (-n, n] | / 2n [/ math]. Ahora el tamaño de todos los enteros es 1, el tamaño de todos los enteros pares es 0.5, el tamaño de los enteros positivos es 0.5. El mapeo 1-1 no conserva [math] S (\ cdot) [/ math] .

Ahora suceden cosas extrañas con [math] S (\ cdot) [/ math]. Por ejemplo, [matemática] S (2A) = 0.5 S (A) [/ matemática], donde [matemática] 2A [/ matemática] es el conjunto donde todo en [matemática] A [/ matemática] se multiplica por 2.

Intenta hacer esto con números reales, obtienes una integral bastante impropia. No hace falta decir que esto es complicado y no es tan elegante ni tan versátil como la idea de Cantor. Aceptemos que el infinito es extraño.

Supongo que solo estás malinterpretando el principio del infinito. Es porque aceptamos el concepto de infinito que suceden algunas cosas extrañas (juego de palabras).
Se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardenal si hay una biyección de uno a otro, esta es una definición pura, nada que demostrar, por lo que no es exactamente “cuántos elementos tiene en el conjunto”, especialmente cuando es infinito.

No estás diciendo que hay tantos enteros pares como enteros, solo estás diciendo que hay una biyección entre el conjunto de todos los enteros no negativos y el conjunto de todos los enteros pares no negativos.
(Para su información, mire $$ f: \ N-> 2 \ N $$ de modo que $ \ forall n en \ N, f (n) = 2n $, que es claramente uno a uno)

No necesita “crear una matemática completamente nueva” para abordar un problema tan pequeño. Simplemente necesita un nuevo nombre para el nuevo concepto. Puede (y ya lo hace) vivir felizmente junto al otro.

Lo que encuentras contraintuitivo se llama cardinalidad . La cardinalidad del conjunto de todos los enteros es la misma que la cardinalidad del conjunto de todos los enteros pares, porque hay una biyección entre esos dos conjuntos.

El otro concepto se llama comúnmente densidad . Todos los enteros son dos veces más densos que incluso los enteros. Un buen punto de partida para leer es el artículo de Wikipedia Densidad natural.

Disculpe, pero ¿no son estas las matemáticas que ya tenemos? Considere que el conjunto de enteros incluye todos los enteros pares e impares. Como la mitad de los enteros son pares, y la otra mitad son impares, ya conoce sus nuevas matemáticas.