Depende de lo que quiera decir con “el doble de grande”, pero el punto es que la forma en que definimos el tamaño es muy canónica y de sentido común, y tiene la consecuencia de que los enteros pares deben ser del mismo tamaño que todos los enteros. Para los matemáticos, la teoría de conjuntos es el campo de estudio que describe los objetos subyacentes en la mayoría de las matemáticas fundamentales antes, por ejemplo, del siglo XX.
Un conjunto es simplemente una colección de objetos distintos (el conjunto de todas las manzanas, el conjunto de todas las personas, el conjunto de todos los átomos, el conjunto de todos los electrones [o cualquier otro fermión realmente], etc.) y consideramos dos conjuntos para ser el mismo si representan la misma cantidad de cosas solo con nombres diferentes. Por ejemplo, el conjunto [math] {1, 2, 3} [/ math] y el conjunto [math] {a, b, c} [/ math] se consideran “lo mismo” que los conjuntos porque ambos consisten en Tres objetos.
Esta noción se codifica formalmente en la noción de una biyección, o una función [math] f [/ math] que toma cosas en el primer conjunto [math] S_1 [/ math] y genera cosas en el segundo conjunto [math] S_2 [/ math] tal que no haya dos entradas que obtengan la misma salida, y cada salida corresponde a alguna entrada (que [math] f [/ math] es una función simplemente codifica la idea de que cada entrada debe tener una y solo una salida definida) . Nuevamente, esta es solo una forma elegante de verificar que dos conjuntos tienen el mismo “tamaño”, tiene versatilidad porque funciona para conjuntos finitos o infinitos. La noción de tamaño es una elección adecuada de lo que es “esencial” acerca de un conjunto porque lo único que hace que dos conjuntos sean diferentes “como conjuntos” es cuántas cosas tienen en ellos. Si le dio más estructura a los conjuntos, es posible que le interesen funciones que tengan más propiedades que las biyecciones, pero las biyecciones son precisamente las funciones entre conjuntos que preservan todas sus cualidades esenciales “como conjuntos”.
En este caso, debemos tener que los enteros tengan el mismo tamaño que los enteros pares porque la biyección [matemática] f (x) = 2x [/ matemática] se correlaciona entre sí. Puede comprobar usted mismo que esto es una biyección.
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Puede definir diferentes nociones de “tamaño” si lo desea, pero esto no conducirá a nada contradictorio con nuestras matemáticas tradicionales, solo significará que puede probar cosas nuevas sobre su noción particular de “tamaño”. Puede ser divertido y útil, o no.