¿Por qué los matemáticos creían que el último teorema de Fermat era cierto cuando no había pruebas disponibles? Si Fermat no tenía pruebas, ¿cómo tuvo la idea de establecer un teorema que fuera realmente cierto y probado después de 300 años?

Answer 1

Mira, ¿por qué crees algo en ausencia de una prueba? No tienes, por ejemplo, una prueba de que el sol saldrá mañana, pero apuesto a que lo crees, y yo también.

Los matemáticos llegan a creer las cosas de la misma manera que todos los demás: sobre la base de la evidencia. Por ejemplo, el sol ha salido todos los días de la historia humana hasta ahora. Esa es una evidencia bastante fuerte de que el sol continuará saliendo mañana. Hoy en día, por supuesto, podemos dar argumentos mucho más sofisticados en términos de la física del sistema solar, pero en última instancia, la razón por la que creemos que las leyes de la física no cambiarán repentinamente mañana se basa en el mismo tipo de razonamiento: porque No ha cambiado hasta ahora.

Aquí hay algunos ejemplos del tipo de evidencia que los matemáticos tenían de FLT:

1. Nadie había podido encontrar un contraejemplo durante cientos de años.
2. Muchos matemáticos (el propio Fermat, Euler, Germain, Kummer …) habían podido probar muchos casos especiales.
3. Hay un argumento probabilístico heurístico (página en mathoverflow.net) y una prueba (teorema de Faltings) de que para [matemática] n \ ge 3 [/ matemática] solo hay muchos contraejemplos finitos. Entonces, incluso si FLT fuera falso, en cierto sentido, casi siempre se mantendría.
4. El teorema de Mason-Stothers demuestra una versión de FLT con polinomios que reemplazan enteros. La idea de relacionar polinomios y enteros de esta manera se llama la “analogía del campo de función”, e históricamente ha sido una forma muy productiva de pensar en la teoría de números. Se puede considerar a Mason-Stothers como una versión de la conjetura abc para polinomios, que por cierto también prueba una versión de FLT (demuestra que solo hay muchos contraejemplos finitos incluso si [matemática] n [/ matemática] varía), y que nadie puede encontrar un contraejemplo para ninguno de los dos.

Por lo tanto, puede llegar a creer una afirmación matemática si 1) no puede encontrar contraejemplos, pero también 2) si puede probar corolarios o formas más débiles, y también 3) si puede probar una versión análoga en Un entorno diferente pero relacionado. Todas estas son pruebas, en el sentido bayesiano (inferencia bayesiana), de que la afirmación es verdadera, y los matemáticos usan implícitamente este tipo de razonamiento todo el tiempo.

Answer 2

Inicialmente, en los años relativamente tempranos después de la época de Fermat, su teorema se creía porque Fermat tenía la reputación de tener razón sobre tales cosas. Incluso cuando no dio sus pruebas completas, por lo general tenía razón, por lo que la gente solía creerle.

Más tarde, ya que generación tras generación de matemáticos no pudieron encontrar una prueba, la fe en la aparente afirmación de Fermat de haber tenido una prueba comenzó a desvanecerse. Pero al mismo tiempo, más y más resultados parciales estuvieron disponibles. Si el último teorema de Fermat es la afirmación de que [matemática] x ^ n + y ^ n = z ^ n [/ matemática] no tiene soluciones en enteros positivos [matemática] x [/ matemática], [matemática] y [/ matemática], [matemática] z [/ matemática] y [matemática] n [/ matemática] con [matemática] n> 2 [/ matemática], luego sucesivas generaciones de matemáticos establecieron esto para todos [matemática] n [/ matemática] hasta mayor y mayores valores.

Fermat definitivamente demostró el caso [matemático] n = 4 [/ matemático] y Euler manejó el caso [matemático] n = 3 [/ matemático]. En el momento justo antes de la prueba de Wiles, se había establecido para todos [matemática] n [/ matemática] hasta [matemática] 4 000 000 [/ matemática] más o menos. La evidencia a favor del último teorema de Fermat fue abrumadora a pesar de que la prueba rigurosa tardó mucho en llegar.

Sin embargo, aunque los matemáticos creían que el último teorema de Fermat era cierto, se volvieron cada vez más escépticos de que Fermat tuviera una prueba. En particular, no parece que pudiera haber desarrollado algo similar a la prueba de Wiles: aunque Fermat fue avanzado para su época, no hay evidencia de que haya desarrollado algo remotamente cercano a la maquinaria matemática del siglo XX necesaria para Wiles ‘ prueba. Personalmente, creo que él nunca creyó tener una prueba del caso general, solo el caso [matemática] n = 4 [/ matemática], pero en algún momento al poner la pluma en el papel, algo se perdió en la traducción.

Answer 3

Incluso si crees que el teorema es falso, vale la pena trabajar en encontrar una prueba o un contraejemplo; o en encontrar agujeros en las supuestas pruebas de otras personas.

El teorema atrajo mucho interés por varias razones:

1) Este no fue el único caso en el que Fermat propuso algo (por lo tanto, el último teorema de Fermat) y tuvo un historial bastante bueno en los demás.

2) Es un problema fácil de establecer. Los niños de la escuela primaria superior pueden entender el problema y tratar de resolverlo. Jugué con él cuando tenía esa edad. Apuesto a que muchos matemáticos futuros se interesaron por el teorema a una edad temprana

3) Con el paso del tiempo, el prestigio del teorema aumentó. ¡Imagínese ser el que demostró el teorema que todos los demás no probaron! ¡Serías famoso!

4) No soy experto en esta parte, pero según tengo entendido, la prueba involucra muchas matemáticas interesantes.

5) Fermat afirmó tener una prueba ingeniosa . Y, aunque Fermat sabía muchas matemáticas para su tiempo, casi todo lo que sabía es conocido hoy por estudiantes universitarios avanzados. Entonces…. Si solo pudieras ser tan inteligente como Fermat, podrías encontrar la prueba. Y esa prueba aún podría estar ahí afuera … La mayoría de la gente lo duda. Piensan que Fermat no tenía la prueba que él creía tener. Pero tal vez … tal vez … está ahí. Es bastante seguro que Fermat no lo demostró como lo hizo Wiles (porque no tenía las herramientas)

6) Con el tiempo, se demostró que era cierto para números cada vez más altos.

Answer 4

El problema de cuadrar el círculo era conocido casi desde el comienzo del pensamiento abstracto aparecido por escrito. Nadie lo había hecho nunca, pero no fue hasta 1882 que se demostró que era imposible. Ese problema supera fácilmente los 358 años que la gente buscó contraejemplos para el último teorema de Fermat.

Answer 5

Creo que es importante entender aquí que cuando los matemáticos hablan de “probar” algo, tienen un estándar mucho más alto de lo que la persona promedio podría esperar.

Supongamos que te digo que si sumas 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … y sigues así hasta el infinito, obtienes 2. Supón que te digo que marqué los primeros 1000000 números en mi calculadora y me acerqué tanto a 2.0 que mi calculadora no podía notar la diferencia. La mayoría de la gente lo aceptaría como “prueba” de mi reclamo. Sin embargo, cualquier persona entrenada en matemáticas de nivel universitario señalaría que realmente no he probado rigurosamente mi punto. Por ejemplo, ¿qué pasa si esa suma suma 2 después de 1000000 números, pero luego aumenta a 2.1 en los siguientes 1000000 números? Tal vez mi calculadora simplemente no puede manejarlo.

Entonces, en mi ejemplo, realmente no he “probado” nada. Sin embargo, cualquier persona razonable estaría de acuerdo en que he encontrado evidencia de mi reclamo. Cualquier persona razonable podría estar bastante segura de que 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 2. Por ejemplo, un físico o ingeniero probablemente estaría satisfecho con este nivel de evidencia, aunque sepan que no existe Ha sido una prueba rigurosa. Si intentara demostrarlo correctamente, podría estar bastante seguro de que es cierto.

En general, a menudo tenemos evidencia antes de llegar a una prueba. Esa evidencia podría incluso ser la intuición de un matemático que le dice que algo es probablemente verdadero o falso. Los físicos e ingenieros rutinariamente dejan las cosas en la etapa de evidencia, confiando en que los matemáticos han resuelto o resolverán la prueba rigurosa. Sin embargo, problemas como el último teorema de Fermat son interesantes porque muestran cuán difícil puede ser pasar de la etapa de “evidencia” a la etapa de “prueba rigurosa”.

Answer 6

Simplemente se han esforzado por encontrar un contraejemplo, pero no lo encontraron, incluso esto no es suficiente, aunque buscar una prueba sería más fácil que buscar sin parar.

Answer 7

Me sorprende que ninguna de las respuestas haya mencionado la prueba de Andrew Wiles [Ver: prueba de Wiles del último teorema de Fermat].

Answer 8

Querían creer que era verdad ya que Fermat dijo que lo había demostrado.

Pero lo más importante es que nunca pudieron encontrar un contraejemplo. Obviamente, no fueron tan torpes para suponer que era verdad hasta que se demostrara, por lo que no estoy seguro de lo que implica su pregunta

Answer 9

En realidad, el Teorema de Fermat se probó para una gran cantidad de casos, pero no en general. La ausencia de un contraejemplo mantuvo viva la búsqueda de una prueba real.