Hay una historia bastante compleja en el desarrollo de vectores y sus productos. La sección de historia en la página de wikipedia Euclidean vector tiene algunos detalles.
Hamilton introdujo los cuaterniones en 1843 como un dispositivo para representar números en 3D, de manera similar a cómo funcionan los números complejos en 2D. Hay razones profundas por las que el sistema 3D no funciona, pero necesita cuaterniones 4D y este es el único sistema con una multiplicación 4D muy bien definida. De hecho, solo tenemos buenas multiplicaciones en 1, 2, 4 y 8 dimensiones. No puede definir una multiplicación (con resultados en la misma dimensión) en cualquier otro número de dimensiones.
Puede pensar en un quaternion como teniendo una parte de escala 1D y una parte de escala 3D escrita como [math] (r, \ \ vec {v}) [/ math] multiplicando dos cuaterniones
[matemáticas] \ begin {align}
& (r_ {1}, \ {\ vec {v}} _ {1}) (r_ {2}, \ {\ vec {v}} _ {2}) \\
& = (r_ {1} r_ {2} – {\ vec {v}} _ {1} \ cdot {\ vec {v}} _ {2}, r_ {1} {\ vec {v}} _ { 2} + r_ {2} {\ vec {v}} _ {1} + {\ vec {v}} _ {1} \ veces {\ vec {v}} _ {2})
\ end {align}
[/matemáticas]
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Observe cómo si establecemos las partes del escalador en cero obtenemos
[matemáticas] \ begin {align}
& (0, \ {\ vec {v}} _ {1}) (0, \ {\ vec {v}} _ {2}) \\
& = (- {\ vec {v}} _ {1} \ cdot {\ vec {v}} _ {2}, {\ vec {v}} _ {1} \ times {\ vec {v}} _ {2})
\ end {align}
[/matemáticas]
así que vemos que tanto el producto escalador como el producto cruzado están ocultos dentro de los cuaterniones. Clifford aisló estos dos productos como entidades separadas en 1878.
Otras personas, incluido Grassmann, atacaron el problema 3D en un momento similar pero utilizando métodos más cercanos a nuestra idea de vectores. El trabajo de Grassmann 1840 tenía ideas similares al escalador y al producto cruzado, pero se descuidó en gran medida hasta la década de 1870.
Una mirada moderna al producto cruzado es, como un caso especial del producto Exterior, este es un producto que toma dos vectores nD y el resultado es un bivector. En 2D, los bivectores son 1D, en 3D los bivectores son cantidades tridimensionales y en 4D los bivectores son cantidades cuatridimensionales.
En 3D, el producto cruzado tiene el mismo resultado que el producto exterior. Este resultado 3D es un pseudovector que se comporta de manera muy similar a los vectores pero se comporta de manera diferente bajo reflexión. En particular, si toma el producto cruzado de dos vectores y luego refleja el resultado, obtendrá un resultado diferente si primero refleja los vectores y luego toma el producto cruzado. Es una conveniencia que se usa cuando se introduce al sujeto para que brille sobre la diferencia entre vectores verdaderos y pseudovectores y se dice que el resultado del producto cruzado es un vector.
El producto cruzado es exclusivo de 3D, no se obtiene lo mismo en 4D, ya que el producto exterior es 6D y no se puede confundir con un vector 4D.