Si el álgebra lineal es una cosa, ¿es posible que exista álgebra cuadrática, cúbica, etc.?

Answer 1

Todas estas cosas existen, pero son mucho menos útiles. Piénselo en términos de polinomios, tiene reglas de álgebra para poderes similares para cada poder en el polinomio, pero las matemáticas se vuelven significativamente más fáciles si solo pudiera tirar todos los términos de mayor poder y solo mirar los términos lineales.

El poder detrás del álgebra lineal es su capacidad para describir fenómenos a gran escala asumiendo que es aproximadamente lineal y su implementación simple con una computadora.

Un caso que puede ser diferente es la optimización lineal. Aquí existe la misma complejidad computacional que tratar con la optimización cuadrática, pero el segundo rara vez se usa. Esto probablemente se deba a que es conceptualmente más difícil imaginar modelos cuadráticos en comparación con los modelos lineales, pero desde un punto de vista computacional no es más difícil.

Soy un ingeniero computacional, así que esta es solo mi perspectiva. Un algebraista le diría que no hay diferencia en la estructura y podría explicar una forma rigurosa de pensar en términos de productos externos e isomorfismos. Si está interesado en esta explicación, sugeriría un curso sobre álgebra abstracta.

Answer 2

No creamos específicamente álgebra diferente para cuadrática, cúbica, etc. Por lo general, los agrupamos y lo llamamos álgebra no lineal. Y sí, al igual que el álgebra lineal, es un tema bien estudiado [1].

[1] Introducción al álgebra no lineal

Answer 3

Las formas cuadráticas generalmente usan álgebra lineal, en particular, matrices simétricas. Una forma cuadrática es un polinomio en varias variables en el que cada término tiene grado 2, es decir, es homogéneo de grado 2. Por ejemplo,

[matemáticas] x ^ 2 + 4xy-2xz + 3y ^ 2-5z ^ 2 [/ matemáticas]

está asociado a la matriz simétrica

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 2 y -1 \\ 2 y 3 y 0 \\ – 1 y 0 y -5 \ end {bmatrix} [/ matemáticas]

Si tiene un polinomio cuadrático en varias variables que no es homogéneo, puede agregar una variable adicional y multiplicar los términos deficientes por la potencia adecuada de la variable para llevarla al grado correcto.

Por medio de tensores, los polinomios en varias variables de todos los grados se pueden llevar al pliegue del álgebra lineal.