Los teoremas de caracterización son de interés intrínseco. Y en este caso particular, dado que los espacios vectoriales tienen una importancia fundamental en las matemáticas, es bueno saber que, al menos en teoría, cada espacio vectorial tiene una apariencia razonablemente simple (tenga en cuenta que lo mismo no tiene por qué ser cierto para los módulos, es decir, el vector espacios en forma de espacio sobre anillos más generales). Tenga en cuenta que este teorema también le permite calcular la dimensión de cualquier espacio vectorial si todo lo que sabe es la cardinalidad del espacio y la cardinalidad del campo base.
Ahora, debemos tener en cuenta que este teorema no es constructivo: si se le entrega un espacio vectorial, no le dice cómo construir el isomorfismo, solo ese existe. Por ejemplo, deje que [math] F = \ mathbb {R} [/ math] y [math] V = L ^ 2 ([- 1,1], \ mathbb {R}) [/ math] sea el espacio de funciones con límite 2-norma. Este es un espacio fundamentalmente importante en el análisis, y solo por consideraciones de cardinalidad [matemática] V [/ matemática] debe tener dimensión [matemática] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemática]. Sin embargo, se lo dejo a usted para producir un isomorfismo entre este espacio y el espacio de funciones de valor real finitamente soportadas en su conjunto favorito de ese tamaño.
La razón de esta no constructividad es que este teorema es en realidad equivalente al enunciado “cada espacio vectorial tiene una base”, que a su vez es equivalente al Axioma de Elección completo.
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