Cómo desarrollar una comprensión profunda del álgebra lineal

Answer 1

Descargo de responsabilidad: hay un montón de personas mucho más calificadas que yo para responder esta pregunta. Pero voy a responderlo porque siento que eres un estudiante luchando por comprender algunos de los conceptos y estuve en el mismo bote que tú no hace mucho tiempo.

En mi experiencia con las matemáticas, la mayor parte de mi comprensión proviene de la asociación o simplemente de ver conceptos bajo una luz diferente. Por ejemplo, estoy tomando un curso de teoría de grafos y constantemente me pregunto qué dice realmente un concepto en particular. ¿Por qué funciona algo o cómo encaja esto en mi arsenal matemático?

También entiendo conceptos desconocidos en términos de conceptos con los que ya estoy familiarizado. Ahora supondré que está tomando su primer curso de Álgebra lineal, ya que menciona la noción de un espacio vectorial y un subespacio y, en un segundo curso, los estudiantes se sienten cómodos con esos términos.

Muchas definiciones de matemática de nivel superior pueden parecer bastante abstractas hasta que usted las use de manera concreta. La definición de un determinante parece bastante arbitraria y después de una matriz 3 × 3, nadie está muy seguro de lo que mide en el mundo físico. El determinante de una matriz de 2 × 2 mide el área del paralelogramo definido por dos vectores y el determinante de una matriz de 3 × 3 mide el volumen de un paralelepípedo (paralelogramo 3D). Sin embargo, los usos de un determinante son a menudo mucho más importantes que la definición de lo que es. El determinante le permite a uno ver si una matriz es invertible o no (tiene un inverso multiplicativo), lo que equivale a ver si los vectores que componen la matriz son linealmente independientes, pero aún más, el determinante le permite a uno verificar aproximadamente 10 o menos. cosas.

Lo que se define como algo es tan importante como sus usos. Una vez que se familiarice con el uso de los objetos y las nociones, comprenderá mucho mejor la definición e incluso por qué se define de esa manera.

Answer 2

No estoy seguro de si estoy leyendo correctamente su “sentimiento” actual sobre el álgebra lineal (LA), pero me parece que está luchando con la verdadera verdad que es esto: para seguir un camino en matemáticas, su mente tiene que ser preparado y aceptado para tratar conceptos que son abstractos y que no se mapean sobre la marcha en cosas “tangibles”. Y esto es una cuestión de disciplina mental o, eventualmente, de predisposición mental, que debe desarrollarse para tener éxito en las matemáticas.

Esta necesidad de abstracción surge en la vida cotidiana: solo piense en conceptos como “bueno”, “malvado”, “Dios”, “demonio”, “victoria”, “derrota”, etc., que a menudo no corresponden a un “imagen” visual, pero a lo largo de nuestras vidas hemos sido “entrenados” para asociarlos a imágenes: por ejemplo, si escuchas la palabra “Dios”, tal vez en tu mente aparezca la imagen de una iglesia, una sinagoga, un mezquita, otro tipo de templo, o alguna otra imagen que usted (aprendió a) asociar con “Dios”, pero ninguna de esas imágenes es una representación visual verdadera (creo que en la mayoría de las religiones “Dios” permanece como un concepto no imaginable, pero No soy un teólogo, y si me equivoco en esta suposición, perdone mi ignorancia …). Del mismo modo, un matemático a menudo trabaja con abstracciones que se asignan a imágenes cerebrales “artificiales”; por ejemplo, un físico cuántico teórico tendrá a menudo gatos deambulando en su mente 🙂 (el gato de Schrödinger).

Entonces, para ser un buen matemático, debes ser un creyente 🙂 (en abstracciones matemáticas).

A veces solo tiene que memorizar una definición, un concepto o un algoritmo, que son ideas y no tienen un alias “visual” para ayudar a lidiar con eso. Después de que su cabeza almacene muchos de estos conceptos abstractos (así como los no abstractos) comenzará a dominar el tema y eventualmente producirá nuevas abstracciones, algoritmos, aplicaciones, etc.

Estoy convencido de que, como en muchas otras situaciones en nuestras vidas, se necesita trabajo duro para aprender matemáticas. Pero también creo que algunos “cerebros” son más adecuados que otros para hacerlo, en el mismo sentido que algunas “piernas” son más adecuadas para correr 100 m en menos de 9,6 segundos – pregúntele a Usain Bolt 🙂

Answer 3

A las muchas sugerencias excelentes dadas, agrego dos:

1. Apéguese a casos especiales y resuma de eso. En particular, primero intente comprender el álgebra matricial de matrices de 2 por 2. Esto le dará una intuición para matrices n por n más generales.
2. Cuando trabaje con matrices de 2 por 2, haga un esfuerzo para pensar en el álgebra geométricamente como transformaciones bidimensionales.

Answer 4

Se necesita tiempo y práctica deliberada.

Hay un término llamado “madurez matemática”. Algunos cursos de matemáticas universitarios normalmente solo admiten estudiantes que están por encima de cierto año, porque lleva tiempo desarrollar la madurez matemática. Es la capacidad de pensar y ver las matemáticas después de haber estado haciendo matemáticas durante mucho tiempo. Si recién está comenzando a aprender álgebra lineal, manténgase al tanto de su trabajo y sea paciente. Se tarda un poco.

Mientras tanto, la práctica deliberada es muy importante. Analice tantos ejemplos / problemas como pueda, cada vez en algo un poco más difícil que el anterior. Pruebe también problemas de álgebra lineal que tengan algún contexto.

¡Buena suerte!

Answer 5

Te aconsejaría que tomes conceptos uno a la vez.

Cuando aprenda un nuevo concepto, tómese el tiempo para aprenderlo. Luego, una vez que lo entiendas intuitivamente, y solo entonces, pasa al siguiente. Y así.

Luego, habrá completado el álgebra lineal y tendrá una comprensión intuitiva de esto.

Trate de leer pruebas y “x” en pocas palabras. Además, busque a otra persona y enséñele lo que ha aprendido. Esta es la forma más efectiva de aprender algo: enseñarlo. Si no tiene a nadie que le enseñe lo que aprendió, escriba las respuestas en Quora al respecto.

Y finalmente, si después de un par de días aún no comprende algo, no se preocupe. Pasa a otra cosa y reflexiona sobre ello. Un día, tal vez mientras desayunas, te duchas o te acuestas, de repente te sentirás eufórico, mientras las piezas del rompecabezas encajan en su lugar y dices: “Ohhh … ahora lo entiendo ! ”

Haga todo esto, y debe tener una comprensión profunda del álgebra lineal.

¡La mejor de las suertes!