¿Son la multiplicación matricial y la multiplicación normal realmente similares?

Para ver su similitud, debe crear una capa más de resumen, esto es lo que enseña la álgebra abstracta.

Supongamos que [math] a, b, c [/ math] sean tres números enteros, [math] \ mathbb {Z} [/ math] y [math] A, B, C [/ math] sean tres [math] n \ times n [/ math] matrices, [math] M_ {n \ times n} [/ math] para simplificar, tienes

1. Cierre:
Si [math] a, b \ in \ mathbb {Z} [/ math], [math] a + b \ in \ mathbb {Z} [/ math], [math] ab \ in \ mathbb {Z} [/ matemáticas].
Si [matemática] A, B \ en M_ {n \ veces n} [/ matemática], [matemática] A + B \ en M_ {n \ veces n} [/ matemática], [matemática] AB \ en M_ {n \ veces n} [/ matemáticas].

2. Singularidad:
Deje que [matemática] a = a ‘[/ matemática] y [matemática] b = b’ [/ matemática], [matemática] a + b = a ‘+ b’ [/ matemática], [matemática] ab = a’b ‘ [/matemáticas].
Sea [matemática] A = A ‘[/ matemática] y [matemática] B = B’ [/ matemática], [matemática] A + B = A ‘+ B’ [/ matemática], [matemática] AB = A’B ‘ [/matemáticas].

3. Leyes asociativas:
[matemáticas] a + (b + c) = (a + b) + c [/ matemáticas], [matemáticas] a (bc) = (ab) c [/ matemáticas].
[matemáticas] A + (B + C) = (A + B) + C [/ matemáticas], [matemáticas] A (BC) = (AB) C [/ matemáticas].

4. Leyes distributivas:
[matemáticas] a (b + c) = ab + ac [/ matemáticas].
[matemáticas] A (B + C) = AB + AC [/ matemáticas].

5. Cero:
[matemáticas] a + 0 = a [/ matemáticas].
[matemáticas] A + 0_ {n \ veces n} = A [/ matemáticas].

6. Unidad:
[matemáticas] a1 = a [/ matemáticas].
[matemáticas] AI_ {n \ veces n} = A [/ matemáticas].

7. Aditivo inverso:
[matemática] a + x = 0 [/ matemática], tiene una solución [matemática] x \ in \ mathbb {Z} [/ matemática].
[matemática] A + X = 0 [/ matemática], tiene una solución [matemática] X \ en M_ {n \ veces n} [/ matemática].

La única operación entera diferente de la operación matricial es la ley conmutativa de la multiplicación:
[matemáticas] a + b = b + a [/ matemáticas], [matemáticas] ab = ba [/ matemáticas].
[matemática] A + B = B + A [/ matemática], pero [matemática] AB \ ne BA [/ matemática] en general.

En la escuela, nos enseñan que la multiplicación es “suma repetida”. Seis veces cuatro significa 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

Un problema con ese enfoque es que ni siquiera te ayuda a entender qué se supone que significa [matemáticas] 3 \ frac {1} {4} \ veces 5 \ frac {1} {7} [/ matemáticas], y mucho menos cosas como [matemáticas] \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]. Una manera mucho mejor de comprender la multiplicación de números es que captura los sucesivos cambios de escala, el resultado de expandirse o reducirse por los factores correspondientes uno tras otro.

Volando por dos y volando por tres está volando por seis. Reducirse por cuatro y luego expandirse por cuatro no está haciendo nada. Y así. La multiplicación es un tipo de composición: hacer una cosa tras otra, donde cada una de las cosas es una operación lineal, un simple cambio de escala, algo con un claro significado geométrico.

¿Por qué es [math] (- 1) (- 1) = 1 [/ math], por ejemplo? ¡Intenta explicar eso como “suma repetida”! Visto como operaciones geométricas sucesivas, esta es simplemente la observación de que la línea reflejada sobre un punto (el origen, o 0) y luego reflejando nuevamente lleva la línea completa de regreso a donde estaba. “1” significa “sin cambio”. Entonces, la operación de multiplicación no es “agregar -1 a sí mismo -1 veces”, en realidad es “voltear, luego voltear de nuevo”.

Con esta perspectiva en mente, la multiplicación de matrices es exactamente lo mismo . Representa lo que sucede cuando realizas dos transformaciones lineales una tras otra.

¿Qué le sucede al plano si lo gira 30 grados y luego refleja todo, estilo espejo, alrededor del eje Y? Responder esta pregunta es simplemente una cuestión de multiplicar dos matrices 2 × 2.

¿Qué le sucede al espacio 3D cuando realiza dos reflexiones sucesivas sobre planos diferentes? ¿O dos rotaciones alrededor de diferentes ejes? Nuevamente, la respuesta es un cálculo mecánico con matrices. Multiplicar matrices es componer dos transformaciones lineales, haciendo dos acciones geométricas simples sucesivamente.

Este es un sentido en el que la multiplicación matricial es “similar” a la multiplicación escalar ordinaria.

Habiendo dicho todo eso, no me obsesionaría demasiado con la terminología. Los matemáticos usan muchas palabras con significados múltiples, a menudo en formas mucho peores que esta instancia de usar “multiplicación” en dos contextos diferentes. A veces hay una analogía subyacente a la identidad de los términos, a veces no hay nada (“elíptico”, “plano” y “primitivo” son algunos ejemplos de tales términos sobrecargados). Concéntrese en comprender las transformaciones lineales y su relación con las matrices y no en las palabras que se utilizan. Los matemáticos llaman a esta operación matricial “multiplicación”, por lo que es mejor acostumbrarse a ella, incluso si cree que sus maestros están tratando de hacer que algo parezca más fácil o más natural de lo que le parece. En este caso, en realidad hay una buena razón para ello.

Si piensa que los números están en una recta numérica, la multiplicación corresponde a escalar su distancia al origen. Explotándolo o reduciéndolo.

Ahora, si tiene un punto en el espacio multidimensional, también puede hacerlo explotar, linealmente al principio. Pero también podría escalar cada una de sus coordenadas individualmente. Así que eso se escala en el espacio vectorial multidimensional. El punto es un vector, y la escala es una matriz.

Regrese a una dimensión: si escala un número dos veces, con diferentes factores, entonces puede encontrar una escala única que tendría el efecto combinado. Esa nueva escala es, por supuesto, con el producto de las dos escalas individuales.

Lo mismo en múltiples dimensiones: multiplicar por una matriz es una escala, multiplicar un punto dos veces con dos matrices diferentes es nuevamente una escala, y hay una escala combinada que tiene el efecto de las dos escalas en secuencia. Esa escala es una tercera matriz, que llamamos el producto de las dos primeras.

(Ok, una multiplicación matricial es en realidad una combinación de una escala y una rotación, y no puedes rotar en la recta numérica, por lo que la analogía no es perfecta).

En el caso en que [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] son ​​matrices una por una, la multiplicación de matrices es la multiplicación ordinaria. Simplemente se generaliza a matrices más grandes de una manera agradable.

Mi opinión es que si dos operaciones son suficientemente similares, se justifica darles el mismo nombre. Lo que significa lo suficientemente similar es, por supuesto, una decisión de juicio, pero todo se reduce a lo que es práctico y lo que facilita las cosas.

Entonces, ¿hay alguna similitud entre las proyecciones lineales y la suma repetida? Supongo que no muchos, pero eso realmente no me preocupa, ya que los veo más como interpretaciones de operaciones abstractas. Creo que las operaciones matemáticas generalmente tienen más sentido si se las considera principalmente como reglas, y como reglas, la multiplicación de números naturales y la multiplicación de matrices tiene mucho en común.

Ambos siguen la regla asociativa y tienen un objeto de identidad, por ejemplo, y en combinación con la suma de matrices también siguen la regla distributiva.

Dado que las personas generalmente están familiarizadas con la multiplicación que tiene estas propiedades de los números naturales, no tendrán problemas para simplificar algo como [matemáticas] A (B + C + 3A) – AB + AC [/ matemáticas] mientras que [matemáticas] [correo electrónico protegido] (B $ C $ 3A) £ [correo electrónico protegido] [correo electrónico protegido] [/ matemáticas] puede parecer un poco confuso al principio.

También hay cosas menos triviales que se han probado para, por ejemplo, números naturales bajo multiplicación que también son verdaderas para matrices bajo multiplicación matricial y es más fácil usar estos resultados si se ven iguales.

Sin embargo, hay que tener cuidado, ya que la multiplicación de matrices no sigue la regla conmutativa. ¿Es esto suficiente para que abandonemos el nombre tal vez? Podría ser, pero no lo creo. En cambio, uno podría ver la multiplicación conmutativa como un caso especial de multiplicación. Además, si cambiamos el nombre, probablemente también querríamos cambiar el nombre de la multiplicación del cuaternión, ya que tampoco conmuta.

Las matrices pueden estudiarse puramente como “cosas matemáticas” de arreglos rectangulares de números. Hemos definido cuándo tales matrices son iguales, cuando no lo son. También hemos definido dos (entre otras) operaciones binarias llamadas suma y multiplicación en ellas.

Con este conjunto de conceptos, podemos estudiar las propiedades de las matrices, las interrelaciones entre sus operaciones, etc. (sin ninguna referencia a las transformaciones lineales o tales cosas) simplemente como algunas nuevas “cosas matemáticas” diferentes de los números. Podríamos haberle dado diferentes nombres a las operaciones en matrices, pero queríamos reutilizar algunos nombres. Pero tenemos que recordar que las operaciones en el contexto de números y matrices son diferentes.

Porque con la multiplicación de matrices ab = ba no es cierto, mientras que es cierto si a y b son números.

La pregunta correcta es al revés: ¿la multiplicación de números es lo mismo que la multiplicación de matrices?

Y la respuesta es sí: un número puede identificarse con una matriz diagonal compuesta solo de este número en la diagonal: [matemática] \ lambda \ rightarrow \ lambda I_ {n \ times n} [/ matemática] para lo cual todo va bien [ math] \ lambda \ times \ mu \ rightarrow (\ lambda \ times \ mu) I_ {n \ times n} [/ math].

Por lo tanto, es exactamente la misma operación, pero opera en un conjunto más grande.

Sigue una extensión natural de [math] \ N \ subset \ Z \ subset \ Q \ subset \ R \ subset Mat (\ R, n) [/ math].