¿Por qué las ecuaciones diferenciales de la física no van más allá del segundo orden?

Answer 1

Las respuestas aquí están combinando dos cosas diferentes. Primero, hay muchas ecuaciones en física que van más allá del segundo orden. Se han proporcionado muchos ejemplos en este hilo.

Sin embargo, con pocas excepciones, esas ecuaciones son de orden superior en derivados ESPACIALES y no derivados del tiempo. Hay una buena razón por la cual esto es cierto, pero parece ser una declaración axiomática en lugar de una que puede derivarse de cualquier otro principio.

Primero, conectemos las matemáticas con la física: el orden de su ecuación diferencial le indica cuántas condiciones iniciales (o, más generalmente, condiciones límite) necesita para especificar de manera única una solución. El hecho de que F = ma involucra dos derivadas de tiempo en él (a través de la aceleración) es un reflejo del hecho de que toda la trayectoria de una partícula que obedece a la segunda ley de Newton está determinada por su posición y velocidad en un momento dado. Una derivada de tercer orden en el tiempo requeriría que también especifiquemos la aceleración en un momento dado para especificar una solución; en otras palabras, existirían diferentes soluciones para el movimiento de una partícula con la misma velocidad en la misma posición en el Mismo tiempo.

Ahora, ¿por qué solo necesita especificar la posición y la velocidad para especificar completamente una trayectoria? Bueno, cuando miramos más cuidadosamente, nos damos cuenta de que realmente estamos especificando la posición y el momento de una partícula y usándola para extraer todo el movimiento de la trayectoria de esa partícula. Podemos analizar cómo la posición y el momento son conjugados canónicos, o cómo se relacionan en la mecánica cuántica, y así sucesivamente. Pero al final del día, este fue un hecho que realmente construimos desde el principio porque las ecuaciones que son de orden superior en derivadas del tiempo no parecen describir muy bien la realidad.

Answer 2

Este es un problema no solo con la física, sino también en cualquier situación en la que se usen ecuaciones diferenciales.

Lo que encontrará si intenta crear una ecuación que use ecuaciones diferenciales de orden superior es que la ecuación tenderá a ser inestable y explotar. Si resuelve una ecuación que tiene términos de orden superior, lo que termina sucediendo es que terminará con soluciones que son inestables en el sentido de que cualquier pequeño cambio en sus parámetros iniciales dará como resultado que su solución final sea muy diferente. Como siempre hay incertidumbre en tus condiciones iniciales, terminas con una ecuación que no te dice nada.

Puede encontrar algunas situaciones en las que los términos de orden superior terminan por comportarse bien, pero invariablemente existe una coincidencia matemática especial o un caso especial que hace que esto funcione. Por lo general, encontrará alguna consternación externa que evita que las ecuaciones se salgan completamente de los límites, por lo que puede ver estas ecuaciones en algunos contextos de ingeniería. Pero si no hay nada que obligue a la ecuación a producir números con valores limitados, tienden a dispersarse por todo el lugar.

Esto se aplica no solo en física. Una de las razones por las que las ecuaciones de Black-Scholes funcionan en las finanzas matemáticas es que hay tantas maneras en que puede escribir una ecuación que describa los precios de las acciones que no explotan.

Otra forma de pensar sobre esto (que es matemáticamente equivalente). Supongamos que le doy un montón de datos y desea hacer un ajuste de curva. Puede hacer un ajuste lineal, si parece que hay un mínimo, es posible que desee hacer un ajuste cuadrático. Si comienza a ajustar polinomios cúbicos y de orden superior, es probable que esté ajustando ruido, y rápidamente encontrará que lo que tiene no tiene mucho sentido.

Answer 3

Preguntas super interesantes. De hecho, creo que todos los derivados que surgen naturalmente son de primer orden .

Las derivadas del tiempo (en sistemas continuos, al menos, no puedo hablar con la mecánica cuántica o la relatividad general), se originan a partir de ecuaciones de conservación: balances de masa, energía y momento. En estas ecuaciones, la acumulación en la cantidad de interés se expresa naturalmente como una derivada de tiempo de primer orden.

Los gradientes (derivadas del espacio wrt) aparecen al calcular los flujos (nuevamente, en sistemas continuos). Un flujo es generalmente proporcional al gradiente de una fuerza impulsora, una consecuencia de la segunda ley de la termodinámica. El gradiente representa una derivada de primer orden en el espacio. En electrodinámica, a menudo se trata el rizo de un campo vectorial, que nuevamente es una derivada de primer orden.

Aquí está la ecuación para un oscilador armónico amortiguado dado un desplazamiento [matemática] x [/ matemática] y velocidad [matemática] v [/ matemática]:

[matemática] m \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2} + c \ frac {dx} {dt} + kx = 0 [/ matemática]

Esta ecuación es en realidad el resultado de la conservación del impulso:

[matemáticas] m \ frac {dv} {dt} = F_d + F_s [/ matemáticas]

Donde [math] F_d = -cv [/ math] y [math] F_s = -kx [/ math] son ​​la fuerza de amortiguación viscosa y la fuerza del resorte, respectivamente. La amortiguación viscosa es una representación simplificada de la difusión del momento (proporcional al gradiente del momento), mientras que la fuerza del resorte se deriva de la ley de Hooke, que es la fuerza resultante de un gradiente de desplazamiento. Todos los derivados son de primer orden.

Como un ejemplo más complicado, considere la advección y difusión de energía interna sobre un volumen de control (forma débil):

[matemáticas] \ int_V \ frac {\ partial \ rho \ hat {u}} {\ partial t} d V = \ int _ {\ partial V} (\ kappa \ nabla T + \ rho v \ hat {h}) d \ parcial V [/ matemáticas]

Aquí, la derivada del tiempo representa la acumulación de energía interna sobre el volumen de control. El lado derecho representa los flujos que ingresan al volumen de control debido a la difusión (primer término) y la advección (segundo término). Todas las derivadas son de primer orden. Solo cuando aplicamos el teorema de divergencia (que relaciona la integral de superficie con la integral de volumen) y equiparamos las integradas, aparece la segunda derivada del espacio wrt. Lo mismo en electrodinámica.

Los ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden superior (Korteweg – de Vries, Euler-Bernoulli, etc.) resultan de la reorganización, simplificación y sustitución de ecuaciones constitutivas algebraicas en las ecuaciones de conservación fundamentales de masa, energía y momento.

Todas estas ecuaciones son en realidad aproximaciones, ya que vivimos en un mundo cuántico. En realidad, estoy realmente interesado en saber si hay ecuaciones fundamentales en las que los derivados de orden superior surgen naturalmente, y realmente agradecería cualquier contraejemplo .

Answer 4

Este es un sesgo inconsciente que los físicos tienen al crear teorías. Por ejemplo, Maxwell describió los campos eléctricos y magnéticos como dependientes entre sí usando ecuaciones de primer orden, pero también es posible combinarlos en una sola ecuación de segundo orden usando potenciales. Existe un deseo natural de descomponer las cosas en piezas simples.

Mi ejemplo favorito es la ecuación de Dirac. Es una ecuación de primer orden, pero actúa sobre una función de onda de cuatro componentes, por lo que en realidad son cuatro ecuaciones de primer orden acopladas. Pero Akhmeteli 2011 describe una forma inteligente de combinar todo en una sola ecuación de cuarto orden. ¿Por qué esto no es tan conocido? Probablemente porque la forma en que Dirac lo partió en pedazos fue más fácil.

Answer 5

En física o ingeniería aplicada, las ecuaciones diferenciales de orden superior no son infrecuentes. Sin embargo, es cierto que las ecuaciones fundamentales de movimiento tienden a ser de segundo orden, y hay una razón muy específica por la cual.

La mayoría de nuestras teorías de la física pueden expresarse en términos del principio de menor acción: a saber, que la ruta del sistema en el “espacio de fase” es tal que la integral de un determinado funcional a lo largo de esta ruta es mínima / extrema. Este funcional se llama coloquialmente lagrangiana. Si el lagrangiano depende de las funciones desconocidas y sus derivadas por primera vez (es decir, posiciones y velocidades) solamente, las ecuaciones de movimiento resultantes serán de segundo orden.

Entonces, ¿por qué no tenemos teorías con lagrangianos que dependen de derivados más altos (por ejemplo, aceleración)? Esto se debe a la inestabilidad de Ostrogradsky, que básicamente dice que si un Lagrangiano de un sistema depende de derivados más altos de las funciones desconocidas, el sistema resultante es inestable, por lo tanto, no es físico.

Hay algunas excepciones a esta regla, pero estos son casos especiales. Un caso notable y muy especial es la relatividad general, donde el lagrangiano (el llamado lagrangiano de Einstein-Hilbert) contiene segundas derivadas de las funciones desconocidas (los componentes de la métrica del espacio-tiempo). A pesar de esto, las derivadas más altas no aparecen en las ecuaciones de movimiento resultantes (las ecuaciones de campo de Einstein) ya que todos estos términos se cancelan claramente y, por lo tanto, las ecuaciones siguen siendo de segundo orden y la teoría es estable.

Answer 6

El orden en la ecuación proviene generalmente de la cantidad de elementos de almacenamiento de energía presentes en el sistema.

Coincidente o intencionalmente, generalmente no encontramos los elementos de almacenamiento de energía más de dos. En la parte eléctrica de la física, solo hay dos elementos pasivos de almacenamiento de energía: condensador e inductor. Del mismo modo en la parte neumática como CSTR, hay agua y calentador. Entonces el grado de ecuación [o función de transferencia] es siempre 2.

Hay un sistema con más de dos, pero no los estudiamos hasta que forma parte de una mejor investigación. De lo contrario, en Matemáticas [según los criterios de Routh Hurwitz], somos libres de analizar el comportamiento de cualquier sistema de orden [matemático] n ^ {th} [/ matemático], sin encontrar sus raíces reales. Hasta el segundo orden, hemos desarrollado los mejores y más versátiles métodos para estudiar el comportamiento del sistema. Al igual que su patrón de amortiguación, sobreimpulso, tiempo de establecimiento para estado estable, etc. con una ecuación famosa y práctica como [matemática] \ frac {ω_ {n}} {s ^ 2 + 2ζω_ {n} s + ω_ {n} ^ 2} .[/matemáticas]

Answer 7

Nadie dijo esto. Las ecuaciones diferenciales pueden ser y son de grado arbitrario. Por ejemplo, el orden de las ecuaciones diferenciales que gobiernan los circuitos eléctricos discretos es igual al número de componentes inductivos y capacitivos. Los sistemas mecánicos tienen un orden igual al número de resortes y amortiguadores.

Es posible que tenga este sentimiento falso porque la teoría que se enseña a menudo se detiene en el segundo grado por dos razones: 1) conduce a soluciones analíticamente manejables y 2) es suficiente para explicar las propiedades generales de los sistemas, como la resonancia o la estabilidad.

Más profundo, esto está relacionado con el hecho de que los números complejos son necesarios y suficientes para resolver ecuaciones algebraicas, de modo que cada polinomio real puede factorizarse como trinomios cuadráticos.

Answer 8

Tanto Viktor T. Toth como Joseph Wang son incorrectos en que las ecuaciones fundamentales de movimiento no van más allá de la búsqueda de segundo orden Reacción a la radiación en electromagnetismo, cuya fuerza de radiación depende de la tercera derivada de la posición del electrón con el tiempo (Jackson E&M tiene una sección al final de esto). Yo diría que la autoenergía es bastante fundamental en esa autoenergía del fotón y el electrón que da lugar a la masa medida del electrón y la carga del electrón en QED también
En el capítulo 16 “Amortiguación de la radiación, modelos clásicos de partículas cargadas”, se puede ver la ecuación 16.8,
[matemáticas] F (rad) = x ” ‘* (2 * e ^ 2 / 3c ^ 2) [/ matemáticas]
También debo mencionar que este es un efecto amortiguador, lo que es contrario a la afirmación de Joseph Wang de que el uso de terceros derivados son necesariamente términos inestables.

Answer 9

Esa es una pregunta interesante.

En primer lugar, no es tan cierto. Ver la teoría del haz de Euler-Bernoulli que involucra la cuarta derivada.

Pero la pregunta, “¿por qué hay tantas ecuaciones diferenciales de física de segundo orden?” Sigue siendo interesante. Supongo que está relacionado con cómo se derivan las ecuaciones. Muchas ecuaciones comienzan como [matemática] F = ma [/ matemática] si F es una función de [matemática] x [/ matemática] y [matemática] v = \ frac {dx} {dt} [/ matemática] entonces el tipo de ecuación naturalmente se convierte en segundo orden dado que [math] a = \ frac {d ^ 2x} {dt ^ 2} [/ math]. Ese punto es solo especulación.

Answer 10

En general, los científicos derivan ecuaciones de los primeros principios para crear un modelo (ecuaciones diferenciales) de un fenómeno. Estos modelos se adoptan cuando no solo pueden explicar los fenómenos que se han observado, sino que también predicen lo que no se ha observado.

En cualquier caso, cuando un científico crea el modelo, entran en juego algunas suposiciones. La suposición más común es que la pendiente de un plano (hiperplano en muchas dimensiones) se aproxima muy bien a cambios infinitamente pequeños en una función o cantidad de interés. En general, esta es una buena suposición: vea la expansión de la serie Taylor de una función. Por lo tanto, en la mayoría de los modelos encontrará principalmente derivados de bajo orden. Vea esta derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes y vea la linealización de cambios infinitamente pequeños en acción: Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Si comenzaste a aproximar cantidades de interés no solo con un plano sino también con un cuadrático, tendrías modelos con derivadas de orden mucho más alto. Además, la base teórica para las ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias de bajo orden es muy robusta y bien entendida. Las PDE y ODE de orden superior no han recibido tanta atención de los matemáticos. Entonces, si usted es un físico que está creando un modelo, es mejor que lo plantee como algo para lo que existan soluciones exactas (ODE y PDE de bajo orden), de modo que pueda sacar conclusiones de él.

Answer 11

Las respuestas son extrañas aquí.
Dos razones que dan y otras dan contraejemplos.

Yo diría que generalmente no son necesarios.
Por ejemplo, movimiento. P ” (t) = V ‘(t) = A (t)
Eso es tres derivados. También podemos agregar más, pero la mayoría de las veces ¿tendría algún sentido hacerlo? Ya somos capaces de resolver muchos tipos de problemas de movimiento con solo esos 3 derivados fáciles de entender. Podríamos agregar un tirón J (t) = A ‘(t).
J (t) + A (t) + V (t) + P (t) se podrían juntar para hacer una ecuación diferencial de tercer orden. Incluso podría llamar a cada ecuación una ecuación diferencial de orden infinito. La mayor parte del tiempo sucede que en algún momento esas derivadas son iguales a 0.
Por ejemplo si A (t) = 2
entonces
V (t) = 2x
P (t) = x ^ 2
Pero también J (t) = 0.
J ‘(t) = 0
J ‘(t) + J (t) + A (t) + V (t) + P (t) = A (t) + V (t) + P (t)
Entonces ambas ecuaciones funcionan siempre que la aceleración sea constante.
En este caso, no es necesaria una ecuación de cuarto orden cuando una ecuación de segundo orden dice lo mismo.

Answer 12

Los problemas del mundo real generalmente se describen mediante ecuaciones diferenciales de orden superior. Quizás se refiera a problemas de libros de texto que se seleccionan a mano para que sean fáciles de resolver. Si este no fuera el caso, muchas personas realmente no lo harían a través de ningún plan de estudios STEM.

En esencia, lo que aprende en física e ingeniería en la universidad se basa principalmente en problemas ideales o artificiales con soluciones fáciles o problemas mejor planteados que tienen soluciones alcanzables. ¡El mundo real es muy, muy diferente! Es decir, una vez que sales de la universidad, descubres que la mayor parte no es completamente aplicable a situaciones del mundo real.

Answer 13

Puedo pensar en al menos una instancia en la que el tercer orden es importante y es analizar el rendimiento de los cohetes. Suponga un sistema de coordenadas donde el orden cero es la posición, el primer orden es la velocidad, el segundo orden es la aceleración y el tercer orden es el cambio en la aceleración a medida que el empuje de los cohetes permanece constante pero su masa se reduce a medida que se consume combustible. Debe considerar las cuatro órdenes para comprender cómo y por qué los cohetes hacen lo que hacen. En términos de ecuaciones diferenciales tienes el principal y las tres primeras derivadas. Probablemente también haya otras instancias.

Answer 14

La premisa de esta pregunta es realmente incorrecta. Por ejemplo, las ecuaciones diferenciales que describen el movimiento llegaron al menos a 3er orden y más allá.

El orden cero es la posición. Fácil de comprender.

La derivada de primer orden es la velocidad, es decir, la tasa de cambio de posición. De nuevo, fácil.

El segundo orden es la aceleración, que es simplemente la tasa de cambio de velocidad. O dicho en términos básicos es: la tasa de cambio; de la tasa de cambio; de posición. Entonces esto es común y “conocido por todos” de segundo orden.

El tercer orden es, por alguna razón, en gran parte desconocido pero fácil e intuitivamente entendido. Obviamente es la tasa de cambio de aceleración y se llama “tirón”. Jerk no es un concepto esotérico y difícil de entender, en realidad es exactamente y simplemente lo que todos entienden que significa la palabra “jerk”.

Imagine conducir un automóvil potente y empujar el acelerador hacia abajo hasta la mitad y mantener el acelerador en esa posición para que el automóvil experimente una aceleración constante. Lo que experimenta es que continuamente lo empujan hacia atrás en su asiento mientras continúa la aceleración. Como todos saben, así es como se siente la aceleración.

Entonces, ¿cómo se sentiría un tercer orden? Imagínese, en lugar de mantener el acelerador en esa posición constante, empujando repentinamente el acelerador al piso. Su cabeza está “sacudida” hacia atrás debido a la brusca tasa de cambio de aceleración. Todos han experimentado esto y dirían que su cabeza ha sido sacudida hacia atrás. Esta es la tercera derivada de la posición y comúnmente, si no matemáticamente, entendida por todos.

Estoy bastante seguro de que el cuarto orden o la tasa de cambio de idiota es algo que, si pudiera encontrar un ejemplo fácil de entender, también sería comprensible para todos. Puedo imaginar lo que es, pero me resulta difícil explicarlo con claridad. Sin embargo, se experimentaría si el acelerador se empujara hacia abajo a una velocidad cada vez mayor, causando que la tasa de cambio de aceleración aumente a una velocidad cada vez mayor. es decir, la tasa de cambio de jerk es de 4to orden.

Y así, y por siempre.

Answer 15

El principio de acción mínima no es la respuesta, ya que puede incluir fácilmente derivados más altos (por lo que no hay obstrucción matemática).

La razón es que las ecuaciones más generales son difíciles de resolver. Por lo tanto, es imposible desarrollar teorías y hacer experimentos.

Afortunadamente, muchos sistemas se pueden manejar utilizando perturbaciones / aproximaciones en la intensidad de campo y / o el impulso que conduce a formas solucionables.

Para muchos sistemas, ni siquiera conocemos la “ecuación completa” más allá de la aproximación, ya que carecemos de los primeros principios para derivar las ecuaciones.

Answer 16

Permítanme reformular la respuesta de Viktor: Porque fuerza = masa x aceleración y aceleración = segunda derivada de la posición. Las ecuaciones de orden superior en mecánica generalmente surgen como sistemas derivados [a través de la introducción de una función potencial o de flujo, etc.] a partir de ecuaciones de segundo orden o al colapsar un sistema de ecuaciones de orden inferior en una de orden superior [El ejemplo de esto que viene a la mente es ecuación de acústica lineal], o de la resolución de otras variables. También pueden surgir cuando las leyes fundamentales no pueden conocerse a priori y se derivan del ajuste de datos [llamado calibración por quienes pretenden que el ajuste de datos es ciencia]. Aquí se presentan ejemplos de elasticidad no lineal y flujos viscoelásticos.

Answer 17

Mire la ecuación de Korteweg-de Vries que involucra una derivada de tercer orden o PDE involucradas en la teoría de placas de cuarto orden.

Peor aún, algunas ecuaciones también se pueden reescribir con cálculo fraccional, lo que lleva a derivadas de orden fraccional.

Answer 18

Esto se debe a que la mayoría de los fenómenos físicos se rigen por las leyes de conservación, como la segunda ley de Newton, que es una ecuación diferencial de segundo orden. Nuestra naturaleza ha preferido la dinámica de segundo orden, por ejemplo: ecuaciones de Navier-Stokes, ecuación de onda, ecuación de calor, Maxwell Las ecuaciones, etc., son todas DE de segundo orden.

También debido al hecho de que gran parte de los fenómenos físicos (sistemas mecánicos / vibraciones, movimiento 1-D, circuitos eléctricos, etc.) son problemas de BVP de DEs de segundo orden que constituyen el tema de interés para nuestras sociedades científicas y de ingeniería.

Answer 19

La pregunta no es completamente correcta. Hay ecuaciones incluso en contextos no relativistas, que incluyen derivados más allá del segundo orden. Lo primero que me viene a la mente es la ecuación de Kortweg-de Vries que incluye una tercera derivada y se usa para modelar ondas solitarias. O, en ingeniería y geofísica, la ecuación para doblar placas es de cuarto orden (lo resuelve y descubre cuánto se dobla la litosfera debido al peso de las montañas). Sin embargo, es cierto que son raros. La explicación de Toth que se basa en el hecho de que deriva la mayoría de las cosas al diferenciar a los lagrangianos tiene sentido.

Answer 20

Recientemente estaba tratando de resolver cómo visualizar el espacio-tiempo que tiene 4 dimensiones. Alguien que conocí en una reunión de TI me dijo que un amigo le había explicado el mismo problema. Nuestro sistema visual ha evolucionado para nuestro modelo mental tridimensional del mundo + tiempo. No podemos “visualizar” algo que no somos capaces de mapear en un sistema análogo del que tenemos equipo sensorial para percibir. Estamos obligados a pensar en órdenes superiores en términos de matemáticas con más de 3 valores independientes.

Ampliando esta idea, ya que la mayoría de la ciencia se basa en observaciones de la realidad y solo estamos ‘diseñados’ para observar hasta 3D: por ejemplo, posición, velocidad (tasa de cambio de posición) y aceleración (tasa de cambio de tasa de cambio de posición) Por lo general, solo hemos “observado” relaciones de orden superior, ya que hemos complementado nuestros sentidos con tecnología o mediante trabajo teórico con modelos matemáticos.