Bueno, las curvas elípticas son muchas cosas que milagrosamente resultan equivalentes. La naturaleza intuitiva de la ley de grupo depende en gran medida de la perspectiva que elija para examinarlos.
Como múltiples complejas, las curvas elípticas pueden considerarse toros complejos, lo que significa que el plano complejo [math] \ mathbb {C} [/ math] es un módulo de celosía. Elige dos números complejos linealmente independientes [math] \ omega_1 [/ math] y [math] \ omega_2 [/ math] (“linealmente independiente” cuando se consideran vectores bidimensionales sobre los números reales), forma la red [math] ] L = \ mathbb {Z} \ omega_1 + \ mathbb {Z} \ omega_2 [/ math], y toma el cociente [math] \ mathbb {C} / L [/ math]. Esto es realmente bastante intuitivo: coloca el plano en mosaico con paralelogramos y asigna cada punto a su ubicación correspondiente en algún paralelogramo fijo, generalmente uno con una esquina en el origen.
El resultado es manifiestamente una variedad compleja, y la ley de suma es simplemente la suma de números complejos tomados en el módulo de la red.
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Entonces, si considera que “curva elíptica” significa “un toro complejo”, la ley de adición es tan intuitiva como parece. Es solo una adición ordinaria.
Las curvas elípticas también se pueden considerar como el conjunto [matemático] E [/ matemático] de soluciones de una ecuación cúbica no singular en dos variables, tomadas proyectivamente (por ejemplo, con un punto infinito incluido), y con un punto seleccionado distinguido [matemático ] \ mathcal {O} [/ math]. Una ecuación de este tipo casi completamente general es
[matemáticas] y ^ 2 = x ^ 3 + hacha + b [/ matemáticas]
y de hecho, esto es completamente general, excepto en los campos de la característica 2 o 3. En cualquier caso, dada una ecuación de este tipo en un campo como los reales [math] \ mathbb {R} [/ math] o los racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math], puede pensar en la solución establecida como (la terminación proyectiva de) los planos [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] o [math] \ mathbb {Q } ^ 2 [/ math], y la ley de suma es entonces una variación de una construcción simple de acordes y tangentes: para agregar dos puntos [math] A [/ math] y [math] B [/ math], considere el línea que pasa a través de ellos (o la tangente a la curva en [matemática] A [/ matemática] si [matemática] B [/ matemática] resulta ser [matemática] A [/ matemática]), encuentre el tercer punto de intersección [matemática ] P [/ math] de la línea con la curva, repita el proceso para la línea a través de [math] \ mathcal {O} [/ math] y [math] P [/ math], y el punto que acaba de encontrar es [ matemáticas] A + B [/ matemáticas].
Cuando se considera que el punto [math] \ mathcal {O} [/ math] es el punto en el infinito, que es la opción habitual, se ve así:
Esta es una construcción bastante intuitiva, pero el desafío aquí es que no es del todo obvio ver por qué produce una ley de grupo, específicamente, demostrar que la asociatividad es una tarea rutinaria. Hay un argumento ingenioso que usa el teorema de Bezout, pero no es algo que pueda hacer intuitivo fácilmente.
Usando el mismo punto de vista, también es posible escribir fórmulas simples para la ley de grupo. La ventaja es que esto funciona sobre cualquier campo, incluidos los campos finitos, los campos de función o cualquier otra cosa, lo que no se puede decir de las construcciones anteriores que mencioné. La ley de adición es extremadamente importante en aquellos casos en que el campo es arbitrario, pero hacerlo intuitivo está más allá de mis habilidades.