¿Es realmente el caso de que el orden de la permutación implicado por el ‘patrón de permutación’ (gire la secuencia 1 2 … n de adentro hacia afuera) en n elementos es siempre <= n? ¿Por qué?

Answer 1

Ver A216066 – OEIS y A003558 – OEIS para algunas referencias. Esto va de una pregunta de teoría de grupo a una pregunta de teoría de números. Tomé (básicamente lo mismo) permutaciones, en notación de dos líneas,
[matemáticas] \ begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & \ ldots & n-2 & n-1 & n \\\ 1 & n & 2 & \ ldots & \ lceil \ frac {n} {2} \ rceil-1 & \ lceil \ frac {n} {2} \ rceil + 1 & \ lceil \ frac {n} {2} \ rceil \ end {pmatrix} [/ math]
y escribió una línea de Mathematica para determinar el orden (como elemento de grupo):

  ord [n_Integer? Positivo]: [correo electrónico protegido] @Riffle [Rango [1, Techo [n / 2]], [correo electrónico protegido] [1 + Techo [n / 2], n]]

que da la lista:

  ord / @ Rango [25]
 {1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 4, 4, 9, 6, 11, 10, 9, 14, 5, 5, 12, 18, 12, 10, 7, 12, 23, 21 }

La búsqueda en OEIS produce esas dos secuencias anteriores, que son básicamente las mismas.

Ahora las referencias OEIS muestran que el enésimo elemento en esta secuencia es el m más pequeño de tal manera que
[matemáticas] 2 ^ m \ equiv \ pm 1 (\! \! \! \! \! \ mod 2n + 1). [/matemáticas]
Esto se llama el suborden multiplicativo de 2 (mod 2n + 1).

Un límite débil en esto proviene de la función totient de Euler (o la función Carmichael muy estrechamente relacionada), que coloca el límite m <2n-1. Este límite debe reducirse en un factor de 2 a su límite. El OEIS señala que el enésimo elemento de esta secuencia siempre divide la función Carmichael de (2n-1), que puede ayudar a colocar un límite, pero no sé cómo. A veces, la mejora sobre el límite de la función Carmichael es bastante grande: a (4096) = 13, mientras que λ (2 * 4096-1) = 8190 = 13 * 630.

Trazado de los primeros 3000 términos en la secuencia:

De todos modos, ¡tendrás que encontrar un teórico de números para ayudar a mejorar el límite!

Answer 2

Este es un tema bastante interesante . No pretendo saber por qué es así, pero solo como algo a considerar, después de investigar, descubrí que:

Para x desigual yx> 1, siendo x la cantidad de elementos, para ese “tipo” de permutación, todas las x que pueden escribirse como 1 + 6k, donde k es un entero positivamente positivo, su orden de permutación será menor que X. Además, x también se puede escribir como 1 + 2k + 4k , lo que implica que 4k es su orden, ya que es LCM.

A partir de esto, si demuestra lo que acabo de exponer, el orden será igual a x, o inferior, es decir, 4 (x-1) / 6, es decir: (x-1) * 2/3, lo que explica su desigualdad : orden de permutación =

Esto es solo una observación . Espero que mi respuesta sea útil para su investigación adicional.

PD: La razón principal por la que estoy pensando es cuando un elemento de la segunda secuencia de la izquierda coincide con sí mismo de la secuencia anterior.

EDITAR: ¡Esto en realidad es mucho más complicado! Lo que dije solo es válido para unos pocos números. La búsqueda está en marcha!

Lo que es seguro, es que 1 + 6k números de artículos contienen 1 grupo “individual”.

Answer 3

Desafortunadamente, yo tampoco puedo responder a su pregunta lo suficiente.

Sin embargo, diré que su hambre por encontrar esta respuesta es fascinante e intrigante. El trabajo que has hecho hasta ahora, que puedo leer aquí, es muy interesante.

¿Has considerado comenzar estas secuencias en el dominio negativo? Me interesaría ver dónde se cumple esa función alrededor de -1 con un número del orden de 8 más o menos.

¡Buena suerte!

Answer 4

tl; dr
La desigualdad en cuestión no funciona en n = 52.
Detalle:
El orden (O) de permutación (p) de cualquier secuencia de n términos (S) es el LCM más grande de cualquier partición de n.
(por ejemplo, partición (4) = 1 + 1 + 2 = 0 + 4, etc.)
Atado a O:
[matemáticas] O (n) Donde, [matemáticas] Li (x) = \ int_0 ^ x \ frac {dt} {ln t} [/ matemáticas]
o
[matemáticas] O (n)

Aplicando p, m ([matemática] \ leq O [/ matemática]) veces de forma recursiva en S, S regresa al orden inicial.
Piense en ello como la aplicación recursiva de una barajadura a un mazo de cartas, para devolverlo al orden inicial.
O (52) = 180180> 52.
(o n como la pregunta menciona, 52 no es grande en el contexto de esta respuesta)
Puede intentar obtener manualmente la permutación para 52, pero una forma más fácil de ver esto es que no puede recuperar el orden de un mazo de cartas aplicando un barajado 52 veces.