Combinatoria: Sea el conjunto de {(1,1), (1, -1), (-1,1)} -trayecto de red que comienza en (1,1), no use el mismo vértice dos veces, y nunca toque el eje x o el eje y. ¿Cuántos caminos terminan en el punto (4,8)?

Eliminar los bordes donde el camino no puede viajar y girarlo nos da este diagrama. Entonces, básicamente, la pregunta es contar todos los caminos que incluyen solo ir hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha. Ahora…
¿Cuál es la probabilidad de que un elemento permanezca en la misma posición en la matriz de n elementos distintos (por ejemplo, 0..n-1) después de realizar k intercambios aleatorios (el intercambio se realiza como elegir los índices k1 y k2 (k1 <k2) y cambiar un [k1] y un [k2]) en la matriz? Además, ¿cuál es la probabilidad de que la matriz permanezca igual después de estos k intercambios aleatorios?

La respuesta se puede calcular utilizando la siguiente recurrencia. Deje que [math] n [/ math] sea el tamaño de la matriz. Sea [math] p_x [/ math] la probabilidad de que después de que [math] x [/ math] intercambie…
¿Cómo se puede usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para demostrar que [math] \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ sqrt {\ binom nk} \ leq \ sqrt {n (2 ^ n-1)} [/ math ] para [matemáticas] n \ geq2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 \ leq k \ leq n [/ matemáticas]?

Desigualdad de Cauchy-Schwarz, expresada en forma de raíz cuadrada: [matemáticas] \ left (\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_ib_i \ right) \ le \ left (\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i ^ 2}…
¿Qué es una fórmula de forma cerrada para [math] \ sum \ limits_ {x_1 <x_2} {} x_1x_2 [/ math] sobre todos los posibles [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] de [math] 1,2,3, …, n [/ matemáticas]?

Piense en los productos [math] x_i x_j [/ math] como formando una matriz con las entradas i y j . Estás pidiendo la suma de todos los elementos triangulares superiores. Pero esta matriz es simétrica, por lo que…
¿Cuáles son las propiedades especiales del triángulo de Leibniz?

Cada diagonal diagonal suma a un número de la forma [math] \ tfrac {1} {n}, \ n \ in \ mathbb {N}. [/matemáticas] Sea [math] L (r, c) [/ math] el número de Leibniz en la fila [math]…
¿Por qué funciona el triángulo de Pascal?

Suponga que desea elegir r objetos de una colección de n objetos. ¿De cuántas maneras hay para hacerlo [matemáticas] ^ {n} C_ {r} [/ matemáticas]? Elija cualquier objeto de entre los n objetos y llámelo A. Si va…
¿Cuáles son algunas aplicaciones ingeniosas del álgebra lineal en combinatoria?

Llame a un conjunto de líneas que pasan por un punto común equiangular si el ángulo entre dos de ellas es el mismo. Ahora, supongamos que desea averiguar el número máximo de líneas equiangulares * que pasan por…
El número máximo de regiones formadas por n líneas que se cruzan dentro de un círculo es [matemáticas] {{n} \ choose {2}} + {{n} \ choose {1}} + {{n} \ choose {0}} = {{n + 1} \ elegir {2}} +1 [/ matemáticas]. ¿Cuál es una explicación intuitiva para estas fórmulas que un niño de 12 años puede entender?

Digamos que hemos dividido un círculo en un número de regiones con líneas [matemáticas] n [/ matemáticas]. En cada región, elija el punto más bajo. (Si esta descripción es ambigua, gire el diagrama hasta que no lo sea).…
Si cada dígito del número de Graham ocupara un volumen de Planck, ¿cuántos universos observables se necesitarían para representar digitalmente el número de Graham?

Una respuesta corta: aproximadamente, tomaría el número de universos observables de Graham. Respuesta un poco más larga: vea mi comentario a otra pregunta (algo similar): https://www.quora.com/Is-a-googo…. Estás cometiendo el error que cometen muchas otras personas que no se…
Cómo probar el teorema binomial

Primer método (serie de Taylor) Siempre se podría usar el teorema de Taylor para expandir (a + b) ^ k = a ^ k * (1+ b / a) ^ k Sea f (x) = (1 + x)…

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Si A (2,2,1), B (3,7,3) y C (4,4,0) son los puntos culminantes de un triángulo, ¿cómo puedo averiguar el área de este triángulo?

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