¿Cuál es una fórmula explícita para S (n, 2) donde S es el número de Stirling del primer tipo?

Aquí hay muchas fórmulas explícitas para [math] S (n, 2) [/ math]. Por simplicidad, denotemos [matemáticas] a_n = S (n, 2) [/ matemáticas]. Este es el número de permutaciones de objetos [matemáticos] n [/ matemáticos] que tienen exactamente…
¿Cuál es una explicación intuitiva de por qué todos los acordes entre n puntos en un círculo lo dividen a lo sumo en [matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 0} ^ 4 {n-1 \ elegir i} [/ matemáticas]?

Hay [math] 1 [/ math] región original (todo el círculo) cuando no se dibujan acordes. Esto es [matemáticas] \ binom {n-1} {0} [/ matemáticas]. Para cada acorde que se dibuja, imagínelo comenzando en un punto y yendo a…
Dado un conjunto, A, de n elementos, ¿de cuántas maneras se pueden elegir x elementos del conjunto A, siempre que pueda elegir el mismo elemento muchas veces?

Esencialmente, solo nos importa la cantidad de veces que [math] y_i [/ ​​math] ese elemento [math] i \ in A [/ math] (he decidido numerar elementos 1,2,3 .. etc.) es elegido, entonces simplemente contamos los vectores de solución…
¿Cuál es el número de soluciones enteras no negativas para la ecuación [matemáticas] x + y + 3z = 33 [/ matemáticas]?

Veamos las restricciones dadas: x, y, z son enteros no negativos => [matemática] x> = 0, y> = 0, z> = 0 [/ matemática] [matemáticas] x + y + 3z = 33 => y = 33 – 3z…
¿Cuál es el número máximo de triángulos posible con un perímetro N dado, cuyos lados son números enteros?

Esencialmente, esto es lo mismo que contar particiones enteras de [matemáticas] N [/ matemáticas] en exactamente 3 partes [matemáticas] a + b + c = N, \, a \ ge b \ ge c [/ matemáticas] con la…
¿Cuál es el número de soluciones integrales positivas que existen para la ecuación 7x + 12y + 4z = 30?

Mira, quieres soluciones integrales positivas. Comience con 1,1,1. Su LHS es mínimo 23. Desea 7 valores más, así que intente afirmar este valor 7 aumentando los valores de x, y y z. Ahora, si desea resolver este tipo…
Cómo encontrar todas las combinaciones únicas de longitud N en una lista de longitud K

Leyendo entre líneas, sospecho que también está interesado en cómo generar todos los subconjuntos únicos de 5 elementos de su lista / conjunto de 10 elementos. Como las respuestas anteriores le dieron la fórmula para calcular el número…
¿Cómo contar el número de boletos desde el origen hasta el destino en combinatoria?

Supongamos que S1, S2, S3 y S4 son las cuatro paradas entre X e Y. X – S1 – S2 – S3 – S4 – Y Dos pasajeros pueden ingresar al tren durante el viaje en cualquiera de…
Al escribir una cadena binaria de longitud 20 usando 10 1s y 10 0s, puede que nunca haya más 0s que 1s en un momento dado. ¿Cuántas cuerdas existen?

Generalización: Estamos escribiendo una cadena binaria de longitud [math] n \ in \ mathbb {N} [/ math]. Tiene [math] k \ in \ mathbb {N} [/ math] [math] 1 [/ math] s (donde [math] k \ geq \…
Cómo encontrar [matemática] f (n, m, k) = [/ matemática] [matemática] | T | _ {max} [/ matemática] [matemática], [/ matemática] si [matemática] S = \ {1 , 2,3, …, n \} [/ math] y [math] T [/ math] es un conjunto de subconjuntos con cardinalidad [math] m [/ math] del conjunto [math] S [/ math] y el la intersección de dos elementos del conjunto [matemática] T [/ matemática] es como máximo [matemática] k [/ matemática]

Asumiré [matemáticas] n \ ge m \ ge k [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que hay un total de [math] \ dbinom nm [/ math] subconjuntos de [math] S [/ math] que son de tamaño [math] m [/…

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Si [math] A ^ 3 x = b [/ math] es consistente, ¿debe [math] A x = b [/ math] también ser consistente?