¿Qué es [math] \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sqrt [3] {\ cos x} – \ sqrt {\ cos x}} {x ^ 2} [/ math]?

Answer 1

Encontrar
[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {(\ cos x) ^ {1/3} – (\ cos x) ^ {1/2}} {x ^ 2} [/ matemáticas]

El numerador [matemática] (\ cos x) ^ {1/3} – (\ cos x) ^ {1/2} [/ matemática] puede factorizarse como

[matemáticas] (\ cos x) ^ {1/3} (1 – (\ cos x) ^ {1/6}) [/ matemáticas].

Desde [matemáticas] (\ cos x) ^ {1/3} \ a 1 [/ matemáticas], eso nos deja a nosotros para descubrir el límite

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {1 – (\ cos x) ^ {1/6}} {x ^ 2} [/ matemáticas]

Aplicar la regla de L’Hospital

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ to0} \ frac {(\ cos x) ^ {- 5/6} \ sin x} {12x} [/ matemáticas]

Como [matemáticas] (\ cos x) ^ {- 5/6} \ a 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ dfrac {\ sen x} {x} \ a 1 [/ matemáticas], por lo tanto, este límite es [ matemáticas] \ dfrac {1} {12} [/ matemáticas].

Anexo : la función bajo consideración tiene un gráfico inusual.

Answer 2

Sin usar la regla de L’Hopital, tenga en cuenta que para pequeñas [matemáticas] \ epsilon [/ matemáticas],
[matemáticas] \ cos \ epsilon = 1 – \ frac {\ epsilon ^ 2} {2!} + \ cdots [/ math]
y
[matemáticas] (1+ \ epsilon) ^ n = 1 + n \ epsilon + \ cdots [/ math].

Por lo tanto
[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {\ cos ^ {\ frac {1} {3}} x – \ cos ^ {\ frac {1} {2}} x} {x ^ 2} [ /matemáticas]
[matemáticas] = \ lim_ {x \ rightarrow 0} \ frac {1- \ frac {x ^ 2} {6} – 1 + \ frac {x ^ 2} {4} + \ cdots} {x ^ 2} [ /matemáticas]
[matemáticas] = \ frac {1} {12} [/ matemáticas].

Answer 3

Las otras respuestas responden las preguntas correctamente, simplemente sucede que me encanta usar la regla de L’Hôpital para resolver límites siempre que puedo (porque no siempre funciona).
Entonces aquí va:
[matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to0} \ dfrac {(\ cos x) ^ {1/3} – (\ cos x) ^ {1/2}} {x ^ 2} [/ matemáticas]
[math] = \ lim \ limits_ {x \ to0} \ dfrac {-1/3 (\ cos x) ^ {- 2/3} \ sin x} {2x} [/ math] [math] + \ lim \ límites_ {x \ to0} \ dfrac {1/2 (\ cos x) ^ {- 1/2} \ sin x} {2x} [/ math]… Por la regla de L’Hôpital
[matemáticas] = \ lim \ limits_ {x \ to0} \ dfrac {1/2 (\ cos x) ^ {- 1/2} – 1/3 (\ cos x) ^ {- 2/3}} {2 } \ lim \ limits_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin x} {x} [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {1/2 (1) ^ {- 1/2} – 1/3 (1) ^ {- 2/3}} {2} \ cdot 1 [/ matemáticas], porque [matemáticas] \ lim \ limits_ {x \ to0} \ dfrac {\ sin x} {x} = 1 [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac12 \ left (\ dfrac12 – \ dfrac13 \ right) [/ math]
[matemáticas] = \ dfrac {1} {12} [/ matemáticas]

Answer 4

La respuesta es 1/12
Aquí está la solución completa.

Y marque este sitio como favorito para usarlo en el futuro. 🙂

Answer 5

Sustituir [matemáticas] \ cos x = t ^ 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0; t \ a 1} \ frac {t ^ 2-t ^ 3} {x ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0; t \ a 1} \ frac {(t = 1) ^ 2 (1-t)} {x ^ 2} [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {x \ a 0; t \ a 1} \ frac {(1-t) (1- \ cos x)} {(1-t ^ 6) x ^ 2}; [/ matemáticas] Nota: [matemáticas] \ cos x = t ^ 6 [/ matemáticas]

= [matemáticas] \ lim_ {t \ a 1} \ frac {(1-t)} {(1-t ^ 6)} \ times \ lim_ {x \ to 0} \ frac {(1- \ cos x) } {x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ lim_ {t \ a 1} \ frac {(1-t)} {(1 + t ^ 3) (1-t) (1 + t + t ^ 2)} \ veces \ lim_ {x \ a 0} \ frac {(1- \ cos x) (1+ \ cos x)} {(1+ \ cos x) x ^ 2} [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {(1 + 1 ^ 3) (1 + 1 + 1 ^ 2)} \ times \ lim_ {x \ to 0} \ frac {\ sin ^ 2 x} {(1+ 1) x ^ 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {1} {12} \ lim_ {x \ a 0} (\ frac {\ sin x} {x}) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemática] \ en caja {= \ frac {1} {12}} [/ matemática]

Puede ser demasiado largo pero no L’Hospitalization.