¿Cuál es la prueba del teorema de De Moivres (cos (x) + isin (x)) ^ n = cos (nx) + isin (nx)?

Answer 1

Aquí hay una prueba de trigonometría:

Recordemos las identidades:
[matemáticas] cos \; (\ theta_1 + \ theta_2) = cos \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 – sin \; \ theta_1.sin \; \ theta_2 [/ math]
[matemáticas] sin \; (\ theta_1 + \ theta_2) = sin \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 + cos \; \ theta_1.sin \; \ theta_2 [/ math]

Ahora hagamos una multiplicación compleja:
[matemáticas] (cos \; \ theta_1 + i.sin \; \ theta_1) (cos \; \ theta_2 + i.sin \; \ theta_2) = (cos \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 – sin \; \ theta_1.sin \; \ theta_2) + i (sin \; \ theta_1.cos \; \ theta_2 + cos \; \ theta_1.sin \; \ theta_2) [/ math]

Utilizamos el hecho [matemáticas] i ^ 2 = -1 [/ matemáticas], por lo que tenemos:
[matemáticas] (cos \; \ theta_1 + i.sin \; \ theta_1) (cos \; \ theta_2 + i.sin \; \ theta_2) = cos \; (\ theta_1 + \ theta_2) + i.sin \; ( \ theta_1 + \ theta_2) [/ math]

Y por lo tanto:
[matemáticas] (cos \; x + i.sin \; x) (cos \; x + i.sin \; x) = cos \; 2x + i.sin \; 2x [/ math]

Usando la inducción, puedes probar que:
[matemáticas] (cos \; x + i.sin \; x) ^ n = cos \; nx + i.sin \; nx [/ math]

Probamos la identidad para el caso donde [math] n [/ math] era un número entero positivo, pero esto es válido para el caso cuando [math] n [/ math] es negativo, e incluso si [math] n [/ math] es un número racional (de la forma [matemática] n = p / q [/ matemática]), y también si es irracional. Esto se puede probar por separado.

Si usamos expansión binomial para expandir:
[matemáticas] (cos \; (x / n) + i.sin \; (x / n)) ^ n [/ matemáticas]
y use los siguientes resultados hermosos: [matemáticas] \ lim _ {\ theta \ a 0} \ frac {sin \; \ theta} {\ theta} = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty } (1 + \ frac {1} {n}) ^ n = e [/ math], obtenemos:
[matemáticas] (cos \; x + i.sin \; x) = e ^ {ix} [/ matemáticas]

Quod Erat Demonstrandum [QED]

Answer 2

La prueba simple puede ser un método de prueba y error.
En la ecuación
(Cos (x) + isin (x)) ^ n
Después de sustituir los valores de n como 1, 2, 3 … la respuesta para estos tres valores se presenta en la forma en que obtenemos x para ser reemplazado por 1x, 2x, 3x, …
Entonces podemos generalizarlo para n valores donde en cada caso x será reemplazado por nx.
La segunda solución se puede dar usando la ley exponencial.
La definición básica de e ^ ix es
e ^ ix = cos (x) + isin (x)
Entonces, cuando tomamos la enésima potencia de LHS y RHS, obtenemos que LHS es (e ^ ix) ^ n que es lo mismo que e ^ inx y
que se puede escribir como e ^ i (nx). Entonces con esto podemos escribir el RHS que es (Cos (x) + isin (x)) ^ n para ser igual a
(Cos (nx) + isin (nx)), eso prueba el teorema …

Answer 3

¿Realmente necesitamos una prueba cuando sabemos que cosx + isinx puede escribirse como e ^ ix?

Entonces (cosx + isinx) ^ n se convertirá en (e ^ ix) ^ n

eso no es más que e ^ i (nx)

y e ^ i (nx) será cos (nx) + isin (nx).

¿No es así?