¿Por qué el cálculo solo funciona en radianes?

Answer 1

El cálculo funciona en cualquier unidad de ángulos que quieras usar. Sin embargo, si usa radianes, las expresiones que involucran funciones trigonométricas se vuelven mucho más simples. Por ejemplo, usando radianes, podemos escribir la expansión de Taylor de [math] \ sin x [/ math] como:
[matemáticas] \ sin x = x – \ frac {1} {6} x ^ 3 + \ cdots [/ matemáticas]
Lo cual no es posible usando otras unidades para ángulos (como grados). Del mismo modo, la derivada de [math] \ sin x [/ math] es
[math] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ sin x = \ cos x [/ math]
Pero si usaras grados, esto sería
[matemática] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ sin x = \ frac {\ pi} {180} \ cos x [/ math]
Lo cual no es tan ordenado.

Además, en general, los radianes se definen de manera que el ángulo sea igual a la longitud del arco trazado por él en el círculo unitario (el círculo con radio 1), lo que tiene más sentido que declarar arbitrariamente que un círculo tiene 360 ​​grados. En cambio, un círculo tiene [matemática] 2 \ pi [/ matemática] radianes, que también es su circunferencia [matemática] 2 \ pi r [/ matemática] dividida por su radio [matemática] r [/ matemática]. Entonces, en todas las áreas de las matemáticas más allá del nivel de secundaria, no solo el cálculo, preferimos usar radianes.

Para enfatizar (debido a los comentarios): el punto es que en el cálculo la definición de las funciones trigonométricas siempre es en términos de radianes, y el uso de grados introduce un factor artificial de [matemáticas] \ pi / 180 [/ matemáticas] para convertir de radianes a grados.

Podría definir las funciones en términos de grados, pero esa definición sería arbitraria. El número 360 de grados en un círculo es un número artificial inventado por los humanos por conveniencia, y no es una constante matemática fundamental como [math] \ pi [/ math] que aparece no solo en trigonometría y cálculo sino también en innumerables otras areas.

Ver también ¿Por qué el ángulo expresado en radianes es un número real?

Answer 2

Algunas de las otras respuestas han dicho que es más fácil trabajar en radianes, o que los radianes son más “naturales” cuando se usa trigonometría en el cálculo, pero realmente no han explicado por qué.

Uno de los usos importantes del cálculo ha sido históricamente resolver problemas de física, que tienden a reducirse a resolver ecuaciones diferenciales. Una de las ecuaciones diferenciales más fundamentales es [math] y ” = -y [/ math], la ecuación diferencial que describe el movimiento de una masa en un resorte (generalmente escrito como [math] y ” = -ky [/ matemáticas], pero para esta discusión, estoy tomando [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas]).

La teoría de las ecuaciones diferenciales lo lleva rápidamente a concluir que:

• Si [math] s [/ math] es una solución, entonces también lo es [math] s ‘[/ math]
• Las soluciones [math] s, s ‘[/ math] son ​​independientes, lo que significa que [math] s’ (x) \ neq ks (x) [/ math]
• Todas las soluciones a [math] y ” = – y [/ math] tienen la forma [math] como + bs ‘[/ math]
• Podemos elegir la forma específica de [math] s [/ math] eligiendo valores específicos para [math] s (0), s ‘(0) [/ math]

Un examen más detallado de estas dos soluciones (dejemos que [math] c (x) = s ‘(x) [/ math] por conveniencia en la escritura) le permita a uno mostrar que, cuando establece [math] s (0) = 0, c (0) = 1 [/ matemáticas]:

• [matemáticas] s ^ 2 + c ^ 2 = 1 [/ matemáticas] para alguna constante [matemáticas] r [/ matemáticas]
• Por lo tanto, [matemática] -1 \ leq s (x) \ leq 1, -1 \ leq c (x), \ leq 1 [/ math]
• [matemáticas] s (a \ pm b) = s (a) c (b) \ pm c (a) s (b) [/ matemáticas]
• [matemáticas] c (a \ pm b) = c (a) c (b) \ mp s (a) s (b) [/ matemáticas]
• [matemáticas] s (2x) = 2s (x) c (x) [/ matemáticas]
• [matemáticas] c (2x) = c ^ 2 (x) – s ^ 2 (x) [/ matemáticas]
• [matemáticas] s ^ 2 (x) = (1-c (2x)) / 2 [/ matemáticas]
• [matemáticas] c ^ 2 (x) = (1 + c (2x)) / 2 [/ matemáticas]
• [matemáticas] s (-x) = -s (x), c (-x) = c (x) [/ matemáticas]

Además, ninguno de [math] s (x), c (x) [/ math] puede tener una asíntota horizontal. Si lo hicieran, entonces [matemáticas] c (x) = s ‘(x), -s (x) = c’ (x) [/ matemáticas] (respectivamente) tenderían hacia cero. Entonces, si cualquiera de los dos tuviera una asíntota, ambos se acercarían a 0 asintóticamente. Pero no pueden hacer eso, debido a la primera propiedad en esta lista.

Además, ambos [math] s, c [/ math] son ​​periódicos. Para ver esto, tenga en cuenta que cuando [math] s (x)> 0 [/ math] está acotado, cóncavo (porque [math] s ” (x) = -s (x) <0 [/ math]), y no tiene asíntotas. Entonces, en algún momento, [matemáticas] s (p) = 0, p> 0 [/ matemáticas]. En ese punto, tenemos [matemáticas] c (p) = \ pm 1 [/ matemáticas]. En cualquier caso, obtienes [math] s (2p) = 2s (p) c (p) = 2 \ times0 \ times c (p) = 0, c (2p) = c ^ 2 (p) – s ^ 2 (p) = (\ pm1) ^ 2 – 0 ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. De esto obtienes [matemáticas] s (a + 2p) = s (a) c (2p) + c (a) s (2p) = s (a) 1 + c (a) 0 = s (a), c (a + 2p) = c (a) c (2p) – s (a) s (2p) = c (a) 1-s (a) 0 = c (a) [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 2p [/ math] es un período de ambos [math] s, c [/ math]. Aunque no es importante para el resto de esta discusión, esta periodicidad también implica que la solución general, [matemática] y (x) = como (x) + bc (x) [/ matemática] también es periódica con un período de [matemática] 2p [/ math], por lo que el período es fundamental para la ecuación diferencial [math] y ” = -y [/ math], y no es un artefacto de nuestras elecciones para [math] s (0), s ‘( 0) [/ matemáticas].

Esas 11 propiedades también son verdaderas para [matemáticas] \ sen x, \ cos x [/ matemáticas], como aprendiste en trigonometría. Dado que la medición de ángulos en trigonometría es algo arbitrario (utiliza grados, radianes, grados, etc.), tiene sentido “natural” utilizar una forma donde [matemáticas] 360 ^ \ circ = 2p [/ matemáticas ], de modo que [math] \ sin x, \ cos x [/ math] y [math] s (x), c (x) [/ math] tienen las mismas propiedades importantes y satisfacen las mismas identidades. La única pregunta es ¿qué es [matemáticas] 2p [/ matemáticas]?

Resulta que puedes mostrar que el límite [matemática] \ lim _ {\ theta \ to \ 0} \ sin \ theta / arc (\ theta) = 1 [/ math], donde [math] arc (\ theta) [ / math] es la longitud del arco del radio unitario subtendido por el ángulo [math] \ theta [/ math]. Esto es suficiente para mostrar que [math] \ frac {d} {d \ arc (\ theta)} \ sin 0 = 1 [/ math], o que la elección de [math] x = arc (\ theta) [/ math] es suficiente para hacer [math] \ sin (x) = s (x) [/ math]. Y está claro que esa definición de [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] hace que [matemáticas] 2p = 2 \ pi [/ matemáticas]

Answer 3

De hecho, el cálculo “funciona” incluso si sus ángulos no están en radianes. Por ejemplo, considere la función
[matemáticas]
f (x) = \ sin (x ^ \ circ)
[/matemáticas]
para que, por ejemplo,
[matemáticas]
f (30) = \ frac 12
[/matemáticas]

Note en particular que, definiendo el pecado como la función familiar que funciona con radianes, tenemos
[matemáticas]
f (x) = \ sin (x ^ \ circ) = \ sin (\ frac {\ pi} {180} x)
[/matemáticas]
De hecho, podríamos diferenciar esto (usando la regla de la cadena) para encontrar
[matemáticas]
f ‘(x) = \ frac {\ pi} {180} \ cos (x ^ \ circ)
[/matemáticas]
Un truco similar funcionará para cualquier unidad de ángulo, y siempre tendrá algún coeficiente que salga.

Sin embargo, lo que hace que los radianes sean fundamentalmente “agradables” es que al diferenciar sin o cos, la derivada no requiere ningún coeficiente.

En pocas palabras, todo se reduce al hecho de que, si considera que [math] x [/ math] está en radianes, tiene

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin (x)} {x} = 1 [/ matemáticas]

Cuando usas alguna unidad además de radianes (como grados), obtienes algo más, que te da tu coeficiente dominante. Así por ejemplo,

[matemáticas] \ lim_ {x \ a 0} \ frac {\ sin (x ^ \ circ)} {x} = \ frac {\ pi} {180} [/ matemáticas]

Answer 4

Bueno, de hecho, también podrías usar el título en cálculo. Pero, ¿por qué todos los matemáticos del mundo usan Radian en su lugar? Porque radián no tiene unidades, a diferencia del grado. Todos sabemos radian en un círculo la longitud media del sector / su radio. Entonces, si la longitud del sector es r, entonces el ángulo del sector en radianes es 1.

Usar radian en matemáticas es tan simple como se pone especialmente en el cálculo.

Todos estamos familiarizados con “Como (x) se aproxima a 0 en Sin (x) / x, sería igual a 1”, así sería el caso solo si x se mide en radianes. Si usamos grado en su lugar, entonces la respuesta será (π / 180). No puedo escribir la derivación completa de esta identidad, pero pondré un enlace que la contiene.

Debido a que usa la identidad anterior para encontrar d / dx sin (x), y el resultado es una función fluida de cos (x). Nuevamente, ese no es el caso si mides x en grados (entonces sería igual a π / 180 cos (x)).

Una razón más por la que usar Radian es más modesto, el cálculo está muy familiarizado con el gráfico. Y debido a que Radian no tiene unidad, entonces podría mezclarse con un gráfico que contiene un número real (irracional en algunos casos).

Espero que mi explicación ayude 🙂

Aquí está el enlace: https://teachingcalculus.com/201 …

Answer 5

Todavía funciona si se usan otras unidades para ángulos, pero los radianes son los únicos para los que las funciones trigonométricas habituales tienen las derivadas convenientes que tienen. Por ejemplo, si usamos grados en lugar de radianes, d / dx sin (x) = pi / 180 cos (x).

Answer 6

Los radianes son las unidades naturales para los ángulos. La naturaleza no sabe nada de grados. Inventamos grados para (aproximadamente) responder a un año.