Resumen Ejecutivo:
- La geometría plana es útil por derecho propio, y en muchos aspectos más útil que el cálculo.
- Es imposible entender mucho cálculo sin conocer una cantidad sustancial de geometría plana. Las personas que piensan que entienden el cálculo pero no la geometría son extremadamente improbables de poder aplicar el cálculo a un problema del mundo real.
- La geometría también sirve como una primera introducción a la lógica matemática en general; Los fundamentos lógicos son aplicables fuera de la geometría.
Ninguna asignatura matemática debería consistir en la “memorización de fórmulas”, nunca. Dicho esto, la mayoría de los cursos de cálculo que he visto se pueden describir exactamente de esa manera, así que me sorprende que lo esté dando como un ejemplo de un curso “interesante”. Tradicionalmente, la geometría es el primer curso de matemática real que alguien toma: en todas las clases anteriores, a los estudiantes se les enseña * exactamente * cómo resolver cada problema.
La geometría, por otro lado, se trata completamente de crear construcciones y pruebas por su cuenta. Es el primer ejemplo de un tema matemático en el que no se puede simplemente responder a todas las preguntas con exactamente la misma técnica y obtener la respuesta automáticamente. * La clasificación de las secciones cónicas fue una de las primeras clasificaciones no triviales de objetos matemáticos, y es una de las Lo más útil: las cónicas describen todo, desde el movimiento de los planetas hasta las superficies de los líquidos y las formas óptimas para carreteras y faros. Y una vez que necesita comenzar a trabajar en un espacio proyectivo, tener una buena sensación para tomar rodajas de un cono se vuelve completamente esencial.
Para el caso, incluso si cree (como parece ser el estándar moderno) que toda la educación matemática de la escuela secundaria debe ser una marcha hacia el cálculo, debe tener en cuenta el hecho de que el cálculo en sí mismo es en gran parte parte de la geometría. Piensa en lo que implica calcular una integral como
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[matemáticas] \ int \ frac {dx} {1 + x ^ 2} [/ matemáticas]
Esto ciertamente requiere una cantidad no trivial de geometría euclidiana: si queremos entender la sustitución adecuada, debemos saber por qué la función coseno es la derivada de la función seno, por ejemplo. Una vez que hacemos la sustitución u adecuada, el siguiente paso es aplicar el teorema de Pitágoras. Etcétera.
O supongamos que tiene una curva dada por y = f (x) y desea encontrar una normal externa a la curva en cada punto. Este será un problema muy difícil si no sabes que las líneas perpendiculares tienen pendientes cuyo producto es -1.
Para el caso, si tiene la intención de pasar el cálculo y las ecuaciones diferenciales y comenzar a hacer matemática real, aprenderá rápidamente que los métodos analíticos se descomponen rápidamente en muchas situaciones, y que los métodos geométricos son el único camino a seguir. De hecho, incluso entre los matemáticos que se consideran analistas puros, casi siempre hay ideas geométricas que guían su pensamiento.
De todos modos, como dije anteriormente, las clases de cálculo que he visto rara vez tratan de la estructura analítica subyacente; en cambio, generalmente son extensiones de álgebra y trigonometría de la escuela secundaria, ya que dependen en gran medida de la manipulación de fórmulas de acuerdo con tablas de reglas e identidades. Este es un enfoque poderoso para un conjunto de problemas bastante restringido, pero es menos útil de lo que parece en una clase de cálculo, donde se eligen cuidadosamente los problemas para que este enfoque funcione bien. En realidad, incluso las integrales más simples a menudo tienen que calcularse numéricamente porque no existe una forma cerrada. *
* Esto no es, en términos propios, cierto: hay un algoritmo que resuelve automáticamente todos los problemas de la geometría euclidiana, pero esto no es algo que a menudo se ve antes de la escuela de posgrado y ciertamente no es algo que uno entienda sin una buena cantidad de antecedentes matemáticos.
** Por supuesto, solo podemos hablar de una forma cerrada con respecto a alguna clase de funciones “admisibles”, pero existe un consenso bastante claro de que cosas como la función Lambert W o las funciones hipergeométricas no cuentan.