El estudio de la geometría es una bendición y una maldición, ya que muchos de los hechos encontrados en los cursos introductorios son 100% intuitivos. Es decir, al menos en la configuración euclidiana, las declaraciones básicas en geometría se explican fácilmente con una imagen o con unos palillos de dientes y malvaviscos, lo que dificulta la justificación de la necesidad de pruebas rigurosas. Esto es incluso cierto en los niveles más avanzados: como un estudiante graduado que posiblemente estudie geometría teórica, paso gran parte de mi tiempo cortando modelos de papel y examinando objetos de formas interesantes en mi escritorio.
Para mí, hay dos problemas algo ortogonales que entran en juego cuando se enseña geometría en la escuela secundaria:
1. Escribir pruebas
En la secuencia tradicional de las clases de matemáticas de la escuela secundaria (al menos en el sistema estadounidense, algo en el sentido de lo básico -> Preálgebra -> Álgebra I -> Geometría -> Álgebra II -> Precálculo -> Cálculo), a menudo veces La geometría es la primera vez que los estudiantes encuentran el concepto formal de una “prueba”. El concepto puede ser bastante confuso, después de todo, si los teoremas de la geometría euclidiana simple son tan obvios, no está claro por qué sus pruebas no deberían ser tan simples como “¡solo mira la maldita cosa!”
Como señala Barry, hay libros sobre libros que ofrecen teorías sobre la mejor manera de enseñarle a un estudiante el arte de escribir pruebas rigurosas, y no puedo intentar resumir (o reclamar ningún tipo de conocimiento de) este trabajo. En mi experiencia personal trabajando con estudiantes de geometría, algunos consejos básicos pueden ser los siguientes:
- Si todos pueden usar Wolfram | Alpha, ¿por qué deberíamos molestarnos en enseñar álgebra?
- ¿Cuáles son las aplicaciones para la integración de funciones trigonométricas?
- ¿Cuál es una forma divertida de mejorar mis escasas habilidades matemáticas?
- ¿Los pensadores altamente intuitivos generalmente se sienten sofocados por las matemáticas altamente rigurosas y basadas en pruebas (por ejemplo, las que se enseñan a nivel de pregrado / posgrado)?
- ¿Deberían las estadísticas reemplazar el cálculo como el curso de matemáticas más avanzado en el plan de estudios de la escuela secundaria?
- Cuando a los estudiantes se les presentan las reglas desde la lógica formal, parece que lo primero que hacen es olvidar que las pruebas pueden tener un plan de juego; escribir una prueba no es un ejercicio para aplicar una búsqueda amplia utilizando todas las reglas formales que se te ocurran. De hecho, ¡es demostrable que esta estrategia no te llevará lejos! En cambio, marcar diagramas claros que ilustren lo que “sabe” / “no sabe” puede ayudar a fomentar un enfoque más intuitivo o informado.
- De manera similar (¡quizás solo reformulando!), Trato de separar la estrategia de prueba de la lógica formal. Ambos son difíciles de entender por sí mismos, y la interacción entre ellos es algo compleja. Trate de que los estudiantes expresen su estrategia en unas pocas oraciones antes de hacer algo formal (pero tampoco descuide la última parte).
- Es importante recordar que la lógica no es necesariamente un campo geométrico: ¡puede escribir muchas pruebas altamente no triviales sin un solo diagrama! Los estudiantes en la mayoría de las clases de geometría conocen algo de álgebra, y los ejercicios simples que muestran cómo uno puede axiomatizar la manipulación algebraica pueden ayudar a aclarar esta diferencia. No es necesario derivar los principales resultados de la teoría de Galois, solo algunos hechos simples.
- Para mí, los ejercicios tontos que escriben oraciones completas en el sentido de “‘Si toco el violonchelo, entonces tengo un instrumento’ no es lo mismo que ‘Si toco un instrumento, entonces tengo un violonchelo’ pero es lo mismo que “Si no tengo un instrumento, no puedo tocar el violonchelo”, en realidad ayuda a que las reglas lógicas formales sean claras y más accesibles. También puede ser útil una breve discusión filosófica / práctica de por qué nos molestamos en codificar estos axiomas.
- Descubrí que muchos de mis alumnos se sientan en la clase de Geometría y dejan que el maestro haga la prueba. No puedo enfatizar lo suficiente lo mala que es realmente esta mentalidad. Un ejercicio ciertamente pedante que hago con bastante frecuencia es pedirle a un alumno que reconstruya una prueba cubierta en clase. Si se atascan, estoy feliz de ayudar. Luego, cuando está hecho, tiramos esa página e intentamos la misma prueba nuevamente. ¡Se sorprendería de cuántos estudiantes pueden repetir este proceso varias veces antes de hacer que todo esté 100% correcto! Si no pueden reconstruir las pruebas que les han dado, es difícil esperar que escriban nuevas.
- Asegúrese de que sus alumnos conozcan los conceptos básicos, especialmente cuando cubran la trigonometría y ciertos aspectos de la geometría analítica. ¡En un momento descubrí que un estudiante mío realmente luchó con la trigonometría simplemente porque su comprensión de manipular y hacer cálculos con fracciones era terriblemente baja!
2. intuición geométrica
Un aspecto dual de ser un solucionador de problemas efectivo en geometría es tener una fuerte intuición de los problemas en cuestión. Afortunadamente, al menos para mí, este proceso es mucho más fácil para la geometría que en campos como el álgebra abstracta o incluso la topología. En particular, si bien podemos quedar atrapados en la formalidad de la “Geometría” como disciplina, somos bombardeados con problemas geométricos posiblemente más complejos cuando navegamos por una habitación desordenada que cuando hacemos la tarea de matemáticas de la escuela secundaria.
Entonces, ¿por qué la gente lucha con esta intuición? Una teoría de la enseñanza / aprendizaje que podría ser útil aquí es la de los “tipos de alumnos”. Por ejemplo, muchas personas se describen a sí mismas como aprendices de tipo “cinético”, “visual”, “auditivo”, etc. Para todos menos el segundo, las figuras en un libro de geometría probablemente no sean la mejor manera de ganar intuición geométrica. ¡Haz que la gente construya, dibuje y busque ejemplos físicos! Cuantos más sentidos diversos pueda atraer, más probable es que pueda alcanzar el estilo de aprendizaje preferido de alguien por accidente, y a medida que trabaje más con ellos, podrá repartir esto más claramente.
Una habilidad particularmente útil que se encuentra en geometría, análisis y otros campos es la de probar los límites de una hipótesis o conjetura. En particular, con demasiada frecuencia le pregunto a un estudiante “¿Es verdadera esta afirmación?”, Y dibujarán un solo ejemplo para verificar mi reclamo. Siempre recuerde: se necesita un contraejemplo para refutar una declaración, pero una prueba rigurosa para justificar una más allá de cualquier duda. Hacer que los estudiantes trabajen en generar contraejemplos para afirmaciones sutilmente falsas (lógicas, geométricas o de otro tipo) puede ser una excelente manera de alentar un enfoque más sólido para resolver problemas.
Esperemos que con un poco de paciencia pueda ver una mejora concreta en el trabajo de su estudiante. Recuerde que la meticulosidad en lugar de la eficiencia es lo más importante, y que esto último vendrá con práctica y tiempo. ¡Muy pronto probarán Gauss-Bonnet sin tu ayuda!